«Τι είναι τελικά τα Μαθηματικά;»

Ολα ξεκίνησαν μ’ ένα κατά τα άλλα αθώο βίντεο στο Tik Tok που ανέβασε στον λογαριασμό της μια αμερικανίδα μαθήτρια. Η Γκρέσι Κάνιγχαμ, ενώ έβαζε μακιγιάζ, κοίταζε την κάμερα του κινητού της κι αναρωτιόταν κατά πόσο τα Μαθηματικά είναι αληθινά. «Ξέρω ότι είναι αληθινά, γιατί τα μαθαίνουμε στο σχολείο… αλλά ποιος σκέφτηκε την έννοιά τους;», μουρμούρισε η ξανθιά κοπέλα. Αφού σχολίασε πως ο Πυθαγόρας στην εποχή του δεν είχε καν υδραυλικά, αναρωτήθηκε πώς κατέληξε στην εξίσωση y = mx + b. «Καταλαβαίνω την πρόσθεση, αλλά πώς κάποιος σκέφτηκε την έννοια της Αλγεβρας; Γιατί να τη χρειάζεται;», απόρησε.

Το βίντεό της με τις σκέψεις της περί Μαθηματικών σύντομα έγινε viral στο Διαδίκτυο, συγκεντρώνοντας ποικίλα σχόλια. Κάποιοι το χαρακτήρισαν «το πιο χαζό βίντεο», άλλοι το είδαν ως μια απόδειξη της αποτυχίας του εκπαιδευτικού συστήματος. Υπήρξαν βέβαια κι εκείνοι που την υπερασπίστηκαν, γράφοντας στο Τwitter πως είναι πολύ ουσιώδεις ερωτήσεις. Μαθηματικοί από το Πανεπιστήμιο της Κορνουάλης και το αντίστοιχο του Ουισκόνσιν, μπήκαν στη συζήτηση όπως και ο φιλόσοφος Φίλιπ Γκοφ σε μια απάντηση δύο σελίδων. Ο ίδιος σχολίασε πως οι συγκεκριμένες απορίες, έχουν να κάνουν με την ίδια τη φύση των Μαθηματικών, η οποία εν πολλοίς είναι ένα πολύ αρχαίο κι άλυτο ακόμα ντιμπέιτ για τη φιλοσοφία της επιστήμης. Τι ακριβώς είναι λοιπόν τα Μαθηματικά; Τα ανακάλυψαν ή τα εφεύραν; Κι όλες αυτές οι έννοιές τους όπως τα νούμερα, οι εξισώσεις, η γεωμετρία και τα θεωρήματα, είναι αληθινές;

Ο πλατωνισμός. Κάποιοι μελετητές θεωρούν ότι οι μαθηματικές αλήθειες είναι εκεί έξω, περιμένοντας τους ειδικούς να τις ανακαλύψουν. Η προσέγγιση αυτή είναι γνωστή ως πλατωνισμός, από τον φιλόσοφο Πλάτωνα, ο οποίος έβλεπε τις μαθηματικές αλήθειες να κατοικούν σ’ έναν δικό τους κόσμο, που δεν έχει σχέση με τον φυσικό μας κόσμο και κρύβεται μεταξύ χώρου και χρόνου. Ο Ρότζερ Πένροουζ, γνωστός βρετανός μαθηματικός και πλατωνιστής, στο βιβλίο του «The Emperor’s New Mind», συμφωνεί μ’ αυτήν την προσέγγιση. «Αυτά τα μαθηματικά μοτίβ, πηγαίνουν πέρα από τις πνευματικές ελευθερίες του κάθε μαθηματικού. Ωστόσο, είναι μέσω της ανθρώπινης σκέψης που οδηγούνται προς κάποια εξωτερική αλήθεια – μια αλήθεια η οποία έχει τη δική της πραγματικότητα», γράφει χαρακτηριστικά.

Πολλοί άλλοι μαθηματικοί είναι της ίδιας άποψης. Εννοιες οι οποίες έχουν ανακαλυφθεί εδώ και αιώνες όπως είναι η τετραγωνική ρίζα, ο αριθμός Π, οι δεκαδικοί στα δικά τους μάτια μοιάζουν να είναι αιώνιες αλήθειες, ανεξάρτητες από τα μυαλά που τις σκέφτηκαν. Ωστόσο, όταν στην εξίσωση μπαίνει και ο παράγοντας του σκεπτικισμού, τότε τα πράγματα μπορούν ν’ αλλάξουν. Γιατί συνήθως οι επιστήμονες χαρακτηρίζονται από την εμπειρική παρατήρηση κι έτσι θεωρούν ότι το σύμπαν αποτελείται από πράγματα τα οποία μπορούμε ν’ αγγίξουμε, να γευτούμε, να δούμε και γενικά να αντιληφθούμε. Οπως η ιδέα του άυλου Θεού έχει απορριφθεί από τη συζήτησή τους, έτσι κι αντίστοιχη ενός κόσμου εκτός χωροχρόνου, ερεθίζει τον εγκέφαλό τους. Κάπως έτσι, μοιάζει αναμενόμενη η πεποίθηση του μαθηματικού Μπράιαν Ντέιβις πως ο πλατωνισμός «έχει περισσότερα κοινά με τις μυστικιστικές θρησκείες απ’ ό,τι με τη σύγχρονη επιστήμη».

Οι οπαδοί του πλατωνισμού, ωστόσο, δεν έχουν να αντιμετωπίσουν μόνο τον σκεπτικισμό των συναδέλφων τους. Καλούνται να απαντήσουν και σε λογικές απορίες όπως το αν τα μαθηματικά αντικείμενα υπάρχουν εκτός χωροχρόνου, πώς μπορούμε να ξέρουμε τα πάντα γύρω απ’ αυτά. Αν και δεν έχουν μια προφανή απάντηση, ίσως η πιο σωστή προσέγγιση που μπορούν να έχουν σχετίζεται με την παρατήρηση. Επιστήμονες όπως ο Γαλιλαίος και ο Αϊνστάιν, οδηγήθηκαν στις αλήθειες του σύμπαντος μέσω πειραμάτων.

Ξεφεύγοντας από τον πλατωνισμό, ο ορισμός των Μαθηματικών έχει πολλές άλλες προσεγγίσεις. Μία από τις πιο δημοφιλείς, θέλει την επιστήμη αυτή να είναι απλώς ένα σύνολο κανόνων, δομημένο πάνω σε μια ομάδα αρχικών υποθέσεων – αυτά που οι μαθηματικοί χαρακτηρίζουν αξιώματα. Μόλις τα αξιώματα αρθρωθούν, τότε έρχεται μια μεγάλη σειρά λογικών αναφορών, ακόμα κι αν κάποιες είναι στην πραγματικότητα πολύ δύσκολο να εντοπιστούν. Σε αυτό το πλαίσιο, τα Μαθηματικά μοιάζουν περισσότερο σαν πρόθεση κι όχι τόσο ανακάλυψη, κάτι που κουβαλάει τα δικά του προβλήματα και συνοψίζονται γύρω από την εξής απορία: αν τα Μαθηματικά είναι όντως μια έννοια που βγήκε από το μυαλό μας, γιατί δένει τόσο καλά με όλα όσα παρατηρούμε στη φύση;

Σε αυτό το ερώτημα απάντησε το 1960 ο θεωρητικός φυσικός Γιουτζίν Γουίγκνερ στο διάσημο κείμενό του «Η παράλογη αποτελεσματικότητα των Μαθηματικών στις φυσικές επιστήμες». Εκεί, αναφέρει πως τα Μαθηματικά και η εφαρμογή τους στους φυσικούς νόμους είναι «ένα υπέροχο δώρο το οποίο ούτε καταλαβαίνουμε, ούτε αξίζουμε». Για κάποιους σύγχρονους επιστήμονες που αμφισβητούν την τυχαιότητα των μαθηματικών παρατηρήσεων, έρχεται ο Μάσιμο Πιλιούτσι, φιλόσοφος από το Πανεπιστήμιο Σίτι της Νέας Υόρκης να δώσει μια πειστική απάντηση. «Ολη αυτή η παράλογη αποτελεσματικότητα είναι στην πραγματικότητα πολύ λογική, γιατί τα Μαθηματικά είναι δεμένα με τον πραγματικό κόσμο, κι είναι έτσι από την αρχή».

Η Γεωμετρία. Το πιο χαρακτηριστικό παράδειγμα αυτής της σχέσης είναι για τον Κάρλο Ροβέλι, θεωρητικό φυσικό στο Πανεπιστήμιο  Aix-Marseille στη Γαλλία, η ευκλείδεια Γεωμετρία. Η Γεωμετρία δηλαδή που μαθαίνουμε στο σχολείο. Αλλά και οι ίδιοι οι φυσικοί αριθμοί, από ένα έως το άπειρο. Για μας μοιάζουν μια φυσική έννοια αλλά όχι για όλους όπως τονίζει ο Ροβέλι. Γι’ αυτόν το μέτρημα «υπάρχει μόνο όπου έχουμε πέτρες, δέντρα, ανθρώπους – ανεξάρτητα πράγματα που μπορούν να μετρηθούν». Οπως και ο Πιλιούτσι, ο Ροβέλι θεωρεί πως τα Μαθηματικά «δουλεύουν» γιατί τα σχηματίσαμε σύμφωνα με τη χρησιμότητά τους. «Είναι σαν να ρωτάς γιατί ένα σφυρί δουλεύει τόσο καλά χτυπώντας τα καρφιά. Είναι γιατί φτιάχτηκε μ’ αυτό τον σκοπό», επισημαίνει. Ωστόσο, πάει τη σκέψη του ένα βήμα παραπέρα τονίζοντας πως δεν είναι λίγες οι περιπτώσεις όπου ανακαλύψεις που έκαναν μαθηματικοί, δεν είχαν καμία χρηστικότητα στη δουλειά άλλων επιστημόνων.

Οποια θεωρία κι αν υιοθετήσουν οι επιστήμονες, ο κοινός τόπος της σκέψης τους είναι πως τα Μαθηματικά είναι ένα πεδίο αντιπαραθέσεων, τουλάχιστον για 2.300 χρόνια. Μάλλον δεν θα δοθούν απαντήσεις στα αιώνια ερωτήματά τους σύντομα, οπότε και η απορία της νεαρής μαθήτριας στο Tik Tok για την αληθινή τους φύση, δεν είναι καθόλου ανόητη. Συμπίπτει με τα ερωτήματα που παιδεύουν φιλοσόφους και μαθηματικούς εδώ και χιλιάδες χρόνια αλλά εκφράζεται μ’ έναν απολύτως σύγχρονο τρόπο. Και μέσο βέβαια.