Ο πολιτικός χάρτης της Eλλάδας ξανασχεδιάζεται (Tο θέμα είναι ποιος θα τον χρωματίσει)

Τέσσερα χρώματα είναι αρκετά για τον χρωματισμό οποιουδήποτε επίπεδου χάρτη, έτσι ώστε δύο χώρες που συνορεύουν να μην έχουν ποτέ το ίδιο χρώμα. Τέσσερα έχουν αποδειχθεί αρκετά και για την πολιτική μας ζωή. Αντιθέτως ένας χάρτης πάνω σε μία σπείρα (σαν τον λουκουμά) απαιτεί 7 χρώματα

Στην Ελλάδα είμαστε πολύ καχύποπτοι. Πίσω από την κάθε κίνηση αυτών που μας
κυβερνούν ψάχνουμε να βρούμε το κρυφό κίνητρο, την παγίδα, το κόλπο που
χρησιμοποιούν για να μας ρίξουν. Φυσικά, αναζητούμε επίσης και το παραθυράκι
για να γλιτώσουμε.

Όταν λοιπόν η κυβέρνηση ανακοινώνει ότι θα προβεί σε αλλαγή του εκλογικού
συστήματος, κανείς δεν πιστεύει ότι πρόκειται για έναν αθώο εκσυγχρονισμό, μια
προσαρμογή του εκλογικού χάρτη της χώρας στα νέα δεδομένα. Άλλοι θεωρούν ότι η
κυβέρνηση, έχοντας συνειδητοποιήσει ότι χάνει το παιχνίδι, προετοιμάζεται για
τις μεθεπόμενες εκλογές, αυτές που θα ακολουθήσουν το ενδεχόμενο αδιέξοδο στην
εκλογή Προέδρου της Δημοκρατίας, ενάμιση χρόνο μετά τις επόμενες. Και καθώς,
όπως προβλέπει το Σύνταγμα, ο νέος εκλογικός νόμος θα εφαρμοστεί τότε για
πρώτη φορά, σχεδιάζει ένα σύστημα που θα της επιτρέψει να επανέλθει τότε στην
εξουσία, έστω και με το δεκανίκι τής, κατ’ όνομα, Αριστεράς μας.

Άλλοι πάλι, πιο ευφάνταστοι, πιστεύουν ότι κάτι με τις ελληνοποιήσεις, κάτι με
την γκλαμουριά του 2004, λίγο με την παροχολογία και κυρίως με τη φυσική ροπή
της αντιπολίτευσης προς τις πάσης φύσεως γκάφες, η παρούσα κυβέρνηση θα
κερδίσει τις επόμενες εκλογές. Για τις μεθεπόμενες όμως, όταν από το 2004 θα
έχουν απομείνει μόνο τα μισοτελειωμένα έργα και τα χρέη, όταν οι παροχές θα
έχουν αποδειχθεί άλλη μια φορά φούσκες και οι ελληνοποιηθέντες θα έχουν
ξεφοβηθεί, χρειάζεται ένα εκλογικό σύστημα που να μην επιτρέπει στην απέναντι
όχθη να κυβερνήσει ή τουλάχιστον να κυβερνήσει άνετα.

Ένα, λοιπόν, είναι βέβαιο. Όλοι οι Έλληνες γνωρίζουν ότι πίσω από τις
συζητήσεις για τον νέο σχεδιασμό του πολιτικού μας χάρτη κρύβονται πονηρές
σκέψεις για τον χρωματισμό του. Πώς χρωματίζεται όμως ένας χάρτης; H βασική
αρχή είναι ότι δύο γειτονικές χώρες, δηλαδή δύο χώρες με κάποια κοινή
συνοριακή γραμμή, δεν πρέπει να έχουν το ίδιο χρώμα. Έτσι, ανάλογα με την
πολυπλοκότητα του χάρτη, απαιτούνται δύο, τρία ή και περισσότερα χρώματα. Το
1852 διατυπώθηκε για πρώτη φορά το ερώτημα, ποιος είναι ο μικρότερος αριθμός
χρωμάτων που αρκούν για να χρωματιστεί οποιοσδήποτε χάρτης. Φυσικά, αν το
επιθυμούμε, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε σ’ έναν χάρτη τόσα χρώματα όσες και
οι χώρες του. Ανακατανέμοντας όμως τα χρώματα, είμαστε σε θέση να περιορίσουμε
τον αριθμό τους. Το μόνο μας μέλημα θα είναι δύο χώρες με κοινό σύνορο να μην
έχουν το ίδιο χρώμα.

Το ερώτημα είναι πόσα κατ’ ελάχιστον χρώματα μπορεί να απαιτηθούν; Το 1890 ο
Άγγλος μαθηματικός Heawood απέδειξε ότι πέντε χρώματα αρκούν. Απέδειξε δηλαδή,
ότι δεν είναι δυνατόν να σχεδιαστούν πάνω σ’ ένα χαρτί έξι κλειστές περιοχές
που να έχουν ανά δύο κοινό σύνορο. Από την άλλη μεριά, όπως είναι φανερό και
στο σχήμα που παραθέτουμε, είναι εύκολο να σχεδιαστεί ένας χάρτης στον οποίο
τα τέσσερα χρώματα θα είναι απαραίτητα. Έμενε ακόμα να απαντηθεί το ακόλουθο
ερώτημα: Υπάρχει χάρτης στον οποίο τα πέντε χρώματα να είναι απαραίτητα;

Θεώρημα των τεσσάρων χρωμάτων

Τέσσερα χρώματα, τέσσερις διαφορετικές κοινοβουλευτικές ομάδες, αρκούν για να
καλύψουν τον οποιονδήποτε χάρτη. H σύγχρονη ελληνική πολιτική ιστορία φαίνεται
να επαληθεύει το θεώρημα των τεσσάρων χρωμάτων. Μπορεί σε μερικές περιπτώσεις
να εξελέγησαν περισσότερες παρατάξεις. Όμως οι περισσότερες των τεσσάρων,
ύστερα από μια ανακατανομή των χρωμάτων εξαφανίστηκαν. Επομένως, όσο η
πολιτική ζωή μας παραμένει επίπεδη, ποτέ δεν θα χρειαστούμε πάνω από τέσσερα
χρώματα. Αυτό που πρέπει να έχουν όμως πάντα στο μυαλό τους οι επίδοξοι
πολιτικοί χαρτογράφοι είναι ότι κανένα μαθηματικό θεώρημα δεν εγγυάται για το
ποια θα είναι αυτά τα χρώματα. Οι συνάδελφοί τους της γείτονος το ξέρουν πια
αρκετά καλά…

Επιστράτευσαν όλες τις αποδεικτικές μεθόδους

Μέχρι το 1976, το πρόβλημα που έγινε ευρύτατα γνωστό ως το «Πρόβλημα των
Τεσσάρων Χρωμάτων» παρέμενε ανοικτό. Κανείς δεν μπορούσε να αποδείξει ότι τα
τέσσερα χρώματα αρκούν, κανείς δεν κατάφερνε να σχεδιάσει έναν χάρτη που να
απαιτεί πέντε χρώματα. Όλοι οι κλάδοι των Μαθηματικών – Αριθμητική, Γεωμετρία,
Τοπολογία, Συνδυαστική Ανάλυση – όλες οι αποδεικτικές μέθοδοι, παλιές και
σύγχρονες – εις άτοπον απαγωγή, άπειρη κάθοδος, αλγοριθμική απόδειξη –
επιστρατεύτηκαν. Όπως συνηθίζεται σ’ αυτές τις περιπτώσεις, η αναζήτηση υπήρξε
εξαιρετικά γόνιμη.

Όσο το πρόβλημα παρέμενε ανοικτό, οι μαθηματικοί συνέχιζαν να επινοούν ολοένα
και νέες μαθηματικές θεωρίες, με την ελπίδα ότι μια διαφορετική προσέγγιση θα
οδηγούσε στην πολυπόθητη λύση. Και τέλος, το 1976, οι μαθηματικοί Appel και
Haken με μια πρωτοφανή συνδυασμένη επίθεση που χρησιμοποίησε εκατοντάδες
σελίδες χαρτιού και χίλιες ώρες υπολογιστικού χρόνου (δηλαδή έναν υπολογιστή
που δούλευε ασταμάτητα επί 42 συνεχόμενες ημέρες) κατάφεραν να αποδείξουν ότι
τέσσερα χρώματα είναι αρκετά για τον χρωματισμό οποιουδήποτε επίπεδου χάρτη.
Χρειάστηκε να εξετάσουν μία προς μία 1.936 διαφορετικές ειδικές περιπτώσεις,
που η καθεμιά τους συμπεριελάμβανε περίπου 500.000 λογικές πράξεις, για να
καταλήξουν σε μια απόδειξη, την πρώτη που πραγματοποιήθηκε με συνδυασμό
θεωρητικής ανάλυσης και υπολογισμών με τη βοήθεια ηλεκτρονικού υπολογιστή. H
απόδειξη των Appel και Haken στάθηκε αφορμή για να ξεσπάσει μια έντονη διαμάχη
στους κόλπους των μαθηματικών. Το ερώτημα είναι αν μια απόδειξη που έχει
πραγματοποιηθεί εν μέρει από έναν ηλεκτρονικό υπολογιστή και δεν είναι εφικτό
να ελεγχθεί πλήρως από τον άνθρωπο, αποτελεί «πραγματική» απόδειξη. Ο διάλογος
που θέτει ξανά επί τάπητος ερωτήματα όπως «τι είναι έγκυρη απόδειξη» και
«μέχρι ποιον βαθμό και τι είδους βοήθεια είναι αποδεκτή από έναν ηλεκτρονικό
υπολογιστή», συνεχίζεται. Αξίζει να σημειώσουμε ότι το θεώρημα (πια) των
τεσσάρων χρωμάτων αποτελεί μια ιδιαιτερότητα του επιπέδου. Το ανάλογο πρόβλημα
για χάρτες που σχεδιάζονται πάνω σε μια σπείρα (φανταστείτε τον λουκουμά των
παιδικών μας χρόνων ή το ντόνατ των σύγχρονων φαστφουντάδικων) απαιτεί 7
τουλάχιστον χρώματα. H απόδειξη του θεωρήματος των επτά χρωμάτων για τη
σπείρα, πολύ πιο εύκολη, προηγήθηκε της απόδειξης που αφορά το επίπεδο.

INFO

Στην ιστοσελίδα http:
//www.mathworld.wolfram.com/ θα βρείτε πληροφορίες για τον χρωματισμό των
χαρτών και τα συναφή μαθηματικά προβλήματα.

Διόρθωση: Στο άρθρο της περασμένης Πέμπτης, ο δαίμων του τυπογραφείου
καταβρόχθισε όλα τα σύμβολα του πολλαπλασιασμού στον αριθμό που υπεισέρχεται
στην απόδειξη του Ευκλείδη. Ο σωστός αριθμός είναι (1x2x3x…xN)+1 και όχι (123…N)+1.

Ο Τεύκρος Μιχαηλίδης είναι διδάκτωρ των Μαθηματικών. Εργάζεται ως
καθηγητής στη Μέση Εκπαίδευση και ως μεταφραστής.