ο υποψήφιος Πώς να… ερωτευθείτε τους αριθμούς

Θέλετε να διακριθείτε στην Ολυμπιάδα του 2004; Υπάρχει κι άλλος τρόπος από
αυτόν που φαντάζεστε: να κατανοήσετε τη μαγεία των… Μαθηματικών στο σχολείο
σας! Η χώρα μας, εκτός από τους Ολυμπιακούς, θα φιλοξενήσει το 2004 και τη
Διεθνή Ολυμπιάδα Μαθηματικών, στην οποία θα συμμετάσχουν πάνω από 100 χώρες.
Προπονηθείτε λοιπόν. Κι αν η προπόνηση σας κάνει να περάσετε και στο
Πανεπιστήμιο, τόσο το καλύτερο! Μη σας φοβίζουν τα Μαθηματικά. Όταν παίζετε…
μπιλιάρδο, π.χ., η τροχιά της μπίλιας χάρη σε αυτά εξηγείται. Η ίδια η γλώσσα
έχει μαθηματική δομή και το χαμόγελο της Τζοκόντας… αστράφτει, χάρη στη
χρυσή τομή. Αλλά ας δούμε πρώτα, με τη βοήθεια εξαιρετικά έμπειρων μαθηματικών
που μιλούν στον «Υποψήφιο», πώς θα αριστεύσετε στα Μαθηματικά του σχολείου.

Πολύ καλή μελέτη της θεωρίας από το σχολικό βιβλίο

Ο καθηγητής κ. Ανδρέας Σβέρκος, ένας εκ των συγγραφέων του βιβλίου «Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής» Γενικής Παιδείας της Γ’ τάξης

Ο καθηγητής κ. Ανδρέας Σβέρκος, ο οποίος είναι συγγραφέας του βιβλίου
«Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής», Γενικής Παιδείας της Γ’ τάξης, μαζί με
τους κ.κ. Λ. Αδαμόπουλο και Χ. Δαμιανού, συμβουλεύει:

«1. Ο καλύτερος και φυσικότερος χώρος μάθησης είναι το Λύκειο και η πιο
αξιόπιστη μέθοδος διδασκαλίας είναι αυτή που ακολουθούν οι διδάσκοντες. Πρώτα
πρώτα, λοιπόν, εμπιστοσύνη στο Λύκειο για την αποτελεσματική προετοιμασία μας.

2. Οι δύο ώρες εβδομαδιαίας διδασκαλίας που προβλέπονται είναι αρκετές για
να καλυφθεί με άνεση η εξεταστέα ύλη. Βασική προϋπόθεση για την αφομοίωσή της
είναι η ενεργός συμμετοχή στο μάθημα, η καθημερινή μελέτη και η επανάληψη στο
τέλος της κάθε ενότητας. Με τον τρόπο αυτό, όταν πλησιάσουν οι εξετάσεις οι
μαθητές θα είναι σωστά προετοιμασμένοι, απαλλαγμένοι από άγχος και θα έχουν
εμπιστοσύνη στις δυνάμεις τους.

3. Αν παρά τα όσα αναφέρονται οι μαθητές αισθανθούν την ανάγκη
βοήθειας, να μην παραβλέπουν τη διαδικασία της πρόσθετης διδακτικής στήριξης.
Στην περίπτωση όμως που φοιτήσουν σε φροντιστήριο ή κάνουν ιδιαίτερο, να
ωφεληθούν και από αυτά, χωρίς όμως να υποκαταστήσουν τη σχολική διδασκαλία.

4. Με τρόπο μεθοδικό και συγκεκριμένο να καταγράφουν σε ιδιαίτερο
τετράδιο τη θεωρία. Έτσι θα μπορούν να κάνουν γρήγορη επανάληψη, να απαντούν
ορθά σε θέματα θεωρίας και να έχουν στέρεο υπόβαθρο για την επίλυση ασκήσεων
και προβλημάτων.

5. Πριν από τη μελέτη οποιουδήποτε βοηθήματος και την επεξεργασία
οποιασδήποτε συλλογής ασκήσεων, προέχουν η μελέτη του σχολικού βιβλίου και η
επίλυση των προβλεπόμενων ασκήσεων και προβλημάτων που περιέχει. Άλλωστε, το
σχολικό βιβλίο αποτελεί σημείο αναφοράς για την επιλογή των θεμάτων των
εξετάσεων.

6. Η εξεταστέα ύλη Γενικής Παιδείας είναι αρκετά περιορισμένη και δεν
μπορεί κανένας να τονίσει τη σημασία κάποιων ενοτήτων ή να υποβαθμίσει τη
σημασία άλλων. Όλα όσα περιέχονται στην ύλη είναι το ίδιο σημαντικά και το
ίδιο πιθανά για τις εξετάσεις. Με άλλα λόγια: όλα είναι SOS».

Για τα Μαθηματικά Κατεύθυνσης

Ο κ. Βασ. Κατσαργύρης, μέλος της συγγραφικής ομάδας του βιβλίου των Μαθηματικών Θετικής – Τεχνολογικής Κατεύθυνσης της Γ’ Λυκείου

Ο κ. Βασ. Κατσαργύρης, καθηγητής στο Λύκειο της Βαρβακείου
Σχολής, είναι μέλος της συγγραφικής ομάδας του βιβλίου των Μαθηματικών Θετικής
– Τεχνολογικής Κατεύθυνσης της Γ’ Λυκείου, που αποτελείται από τους κ.κ. Στ.
Ανδρεαδάκη, Στ. Μέτη, Κων. Μπρουχούτα, Στ. Παπασταυρίδη, Γεωρ. Πολύζο και τον
ίδιο.

«Αρχικά ο υποψήφιος πρέπει να προσέξει ώστε το βιβλίο της κατεύθυνσης που θα
διαβάσει να είναι εκδόσεως 2002, διότι υπάρχουν μικροαλλαγές σε σχέση με τις
προηγούμενες. Κάθε υποψήφιος έχει τον δικό του τρόπο μελέτης, ωστόσο μπορεί
αυτός να μην είναι ο πλέον κατάλληλος. Μια καλή πορεία που μπορεί να
ακολουθήσει ένας υποψήφιος για να έχει τα καλύτερα δυνατά αποτελέσματα
συνοψίζεται στα παρακάτω βήματα:

1. Διαβάζει πολύ καλά τη θεωρία από το σχολικό βιβλίο και δεν ξεχνάει
τα σχόλια. Αν ανατρέξουμε στα θέματα των τελευταίων ετών θα διαπιστώσουμε ότι
δεν ζητούνται μόνο λύσεις ασκήσεων και προβλημάτων, αλλά και διατύπωση ορισμών
και αποδείξεις θεωρημάτων-προτάσεων. Αυτό προϋποθέτει πολύ καλή γνώση της
θεωρίας.

2. Μελετάει πολύ καλά όλες τις εφαρμογές και τα παραδείγματα του
βιβλίου, διότι μέσα από αυτά αποκτά μια πρώτη εμπειρία για τον τρόπο επίλυσης
προβλημάτων και ασκήσεων.

3. Για την επίλυση των ασκήσεων, ξεκινάει από τις εύκολες (Α’ ομάδας)
και σταδιακά περνάει στις δυσκολότερες (Β’ ομάδας).

4. Με κάθε κεφάλαιο που τελειώνει, κάνει επανάληψη της θεωρίας και
προσπαθεί να απαντήσει στις Γενικές Ασκήσεις και στις Ερωτήσεις Κατανόησης. Αν
σε κάποιες από αυτές δυσκολεύεται, συμβουλεύεται τον καθηγητή της τάξης. Αν
έπειτα από αυτό οι ασκήσεις εξακολουθούν να τον δυσκολεύουν, δεν ανησυχεί,
προχωράει στα παρακάτω και σε μελλοντική επανάληψη θα ανακαλύψει ότι τα
καταφέρνει καλύτερα. Αυτό συμβαίνει, διότι, καθώς προχωράει στα επόμενα
κεφάλαια, οι έννοιες που τον δυσκόλευαν αρχικά «ζυμώνονται» στο μυαλό του και
ωριμάζουν, με αποτέλεσμα να γίνονται οικείες.

5. Καθ’ όλη τη διάρκεια της προετοιμασίας του, πρέπει να χρησιμοποιεί
τη γραφική παράσταση και γενικότερα το σχήμα, για να διευκολύνεται στην
επίλυση των ασκήσεων και να επιβεβαιώνει και γραφικά, όπου είναι δυνατόν, τη
λύση που έδωσε σε κάποια άσκηση. Το σχήμα βοηθάει στην κατανόηση δύσκολων
εννοιών (π.χ. όριο). Δεν πρέπει να ξεχνά ότι μια εικόνα μπορεί να αντιστοιχεί
σε χίλιες λέξεις».

«Οι αριθμοί έχουν συναίσθημα»

Ο γενικός γραμματέας της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας κ. Γιάννης Τυρλής

Πώς να ερωτευθεί κανείς… αριθμούς; Και όμως. Ο γενικός γραμματέας της
Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας κ. Γιάννης Τυρλής ξέρει καλά πως οι
αριθμοί έχουν συναίσθημα:

«Είναι λάθος να ταυτίζουμε τα Μαθηματικά με τις εξετάσεις. Υπάρχουν αρκετοί
που έχουν τραυματική εμπειρία από μη επιτυχείς εξετάσεις, όμως τα Μαθηματικά
έχουν ομορφιά που όλοι πρέπει να ανακαλύψουμε. Είναι η επιστήμη που βοηθά να
κατανοήσουμε τον κόσμο που ζούμε και μας δίνει τη δυνατότητα να τον
βελτιώνουμε. Μέσω των εφαρμογών τους, τα συναντάμε παντού: Πληροφορική,
Οικονομία, Βιολογία, Φυσική, Ιατρική, κ.λπ., αλλά δεν είναι μόνο οι θετικές
επιστήμες. Κοινωνιολογία και Ψυχολογία έχουν ανάγκη τα Μαθηματικά. Ας μην
ξεχνάμε και τη γλώσσα, η σημειολογία της οποίας κατά τον Έκο έχει μαθηματική
δομή. Η Μετασχηματιστική Γλωσσολογία, όπως θεμελιώθηκε από τον Τσόμσκι,
χρησιμοποιεί μαθηματικές φόρμες για την ανάλυση της δομής της γλώσσας. Και
πόσοι ξέρουν τη συμβολή των Μαθηματικών στις τέχνες, τη ζωγραφική, τη μουσική;
Η χρυσή τομή δεν είναι που εκφράζει την αρμονία και την ομορφιά του Παρθενώνα
και της Τζοκόντας; Η Μαθηματική Εταιρεία (ΕΜΕ) κάνει μεγάλη προσπάθεια με τα
περιοδικά και τις εκδηλώσεις της να περάσει το μήνυμα ότι τα Μαθηματικά δεν
είναι φόβητρο, αλλά εργαλείο, πνευματικό παιχνίδι και τελικά ευχαρίστηση. Το
2004 θα γίνει μάλιστα για πρώτη φορά στην Ελλάδα η Διεθνής Μαθηματική
Ολυμπιάδα με συμμετοχή περισσότερων από 100 χωρών. Ελπίζουμε ότι η ελληνική
ομάδα με τη βοήθεια της ΕΜΕ και της πολιτείας θα πετύχουν μεγάλες διακρίσεις».

Λύνετε όσο πιο πολλές ασκήσεις μπορείτε

Το απόλυτο 20 έγραψε στις περασμένες εξετάσεις στα Μαθηματικά ο Δημήτρης Πολύζος, φοιτητής σήμερα του Πολυτεχνείου Αθήνας

Ο φοιτητής του Πολυτεχνείου Αθήνας, σήμερα, Δημήτρης Πολύζος έγραψε
στις περασμένες εξετάσεις στα Μαθηματικά το απόλυτο 20!

«Το κυριότερο πρόβλημα που αντιμετωπίζουν οι μαθητές στα Μαθηματικά είναι η
ανεπαρκής εμπέδωση της θεωρίας. Οι υποψήφιοι θα πρέπει να διαβάζουν προσεκτικά
τη θεωρία, να εμβαθύνουν σε αυτήν και στη συνέχεια να λύνουν ασκήσεις. Για
μένα είναι μεγάλο λάθος να λύνει κάποιος ασκήσεις και μέσα από αυτές να
προσπαθεί να μάθει τη θεωρία. Ύστερα από προσεκτική μελέτη της θεωρίας είναι
απαραίτητη η επίλυση πολλών ασκήσεων ώστε να εξοικειωθεί ο μαθητής με τις νέες
γνώσεις και να αποκτήσει άνεση. Οι ασκήσεις του σχολικού βιβλίου είναι
απαραίτητο να λύνονται όλες, ωστόσο δεν επαρκούν για να γίνει πλήρης και σωστή
προετοιμασία. Εγώ έλυνα και ασκήσεις από διάφορες πηγές, όπως εξωσχολικά
βιβλία, μαθηματικά περιοδικά (π.χ. “Ευκλείδης”), έντυπα εφημερίδων (π.χ.
“Υποψήφιος”), Ίντερνετ, θέματα Πανελληνίων Εξετάσεων περασμένων ετών κ.λπ. Η
εμπειρία αποκτάται από την προσωπική επίλυση ασκήσεων. Το διάβασμα ήδη
επιλυμένων ασκήσεων που παρέχονται από τα φροντιστήρια δεν είναι αποδοτικό,
αφού ασκήσεις υπάρχουν… άπειρες! Αντίθετα, αποδοτική θα ήταν η μελέτη της
μεθοδολογίας η οποία προκύπτει κατά τη διαδικασία επίλυσης. Εδώ όμως
χρειάζεται προσοχή: Η μεθοδολογία, αν και απαραίτητη, δεν είναι το πρωταρχικό
εργαλείο που θα οδηγήσει στην επιτυχία. Το πλέον βασικό μέσο με το οποίο θα
πρέπει να αντιμετωπίζονται οι ασκήσεις είναι η κριτική ικανότητα, η οποία
αποκτάται διαχρονικά κατά τη δωδεκαετή φοίτηση των μαθητών στα σχολεία».

Ιδιαίτερη προσοχή στις ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής

Ο Γεράσιμος Κουτσανδρέας βαθμολογεί γραπτά μαθητών πάνω από 15 χρόνια

Ο κ. Γεράσιμος Κουτσανδρέας, καθηγητής στο Ενιαίο Πειραματικό
Λύκειο της Ευαγγελικής Σχολής, βαθμολογεί γραπτά μαθητών πάνω από 15 χρόνια.

«Το πρόβλημα της αξιολόγησης της επίδοσης των μαθητών αποτελεί μία από τις πιο
σπουδαίες διαδικασίες της εκπαιδευτικής πράξης. Για να έχουμε καλύτερο
αποτέλεσμα πρέπει να έχουμε θέματα διατυπωμένα με σαφήνεια και κλιμακούμενη
δυσκολία. Εδώ αρχίζουν οι ευθύνες της πολιτείας, για προσεκτική επιλογή των
εισηγητών και για ενίσχυση του έργου των καθηγητών με υποδείγματα κριτηρίων
αξιολόγησης. Ίσως η πιο σημαντική προσπάθεια έγινε από το Κέντρο Εκπαιδευτικής
Έρευνας, όμως, σταμάτησε αφήνοντας μεγάλο κενό στην εκπαιδευτική πράξη. Στον
μαθητή προτείνω τα εξής:

1. Αξιοποίησε την εμπειρία που απέκτησες από τις εξετάσεις της Β’
Λυκείου και μην επαναλάβεις σφάλματα που έκανες.

2. Διάβασε καλά την εκφώνηση, κατανόησε το ζητούμενο και πρόσεξε μην
ξεχάσεις να απαντήσεις σε κάποιο ερώτημα. Να απαντάς πρώτα στα ερωτήματα που
γνωρίζεις καλύτερα.

3. Γράψε σε κάθε θέμα ό,τι ξέρεις, γιατί αξιολογείται το καθετί που
είναι σωστό, ας μην είναι ολοκληρωμένο.

4. Να προσέχεις στη διατύπωση και την ακρίβεια των απαντήσεών σου. Στα
Μαθηματικά χρειάζονται ιδιαίτερη προσοχή ορισμένοι όροι όπως π.χ. “ακριβώς μία
λύση”, “αν και μόνο αν” κ.τ.λ.

5. Πρόσεχε τις ερωτήσεις Σωστό – Λάθος και πολλαπλής επιλογής, γιατί
μπορεί να παρασυρθείς σε λανθασμένη απάντηση. Μην απαντάς στην τύχη.

6. Να δίνεις ιδιαίτερη προσοχή στα ερωτήματα μεγάλης βαθμολογικής
βαρύτητας (π.χ. το 3β ερώτημα της θετικής – τεχνολογικής κατεύθυνσης του
2002), γιατί σ’ αυτά είναι πιο εύκολη η απώλεια μορίων από μικροπαραλήψεις.

7. Όταν χρησιμοποιείς στοιχεία θεωρίας που δεν αναφέρονται στο σχολικό
βιβλίο ή ασκήσεις για την απόδειξη των θεμάτων, πρέπει πρώτα να τις αποδεικνύεις.

Μην πιστεύετε ότι τα Μαθηματικά «δεν είναι για μένα»

Ο ειδικός γραμματέας της Μαθηματικής Εταιρείας, καθηγητής στο 2ο Λύκειο Κερατσινίου κ. Παναγιώτης Βουργάνας

Ιδιαίτερα έμπειρος μαθηματικός και ειδικός γραμματέας της Μαθηματικής
Εταιρείας, ο καθηγητής στο 2ο Λύκειο Κερατσινίου κ. Παναγιώτης
Βουργάνας, καταγράφει τους τρόπους με τους οποίους μπορούν να ξεπεραστούν
οι δυσκολίες:

«Οι μαθητές έχουν να αντιμετωπίσουν μερικά από τα παρακάτω προβλήματα:

1. Την ύλη των Μαθηματικών κατεύθυνσης σε συνδυασμό με τα υπόλοιπα
μαθήματα, που είναι εκτεταμένη και με απαιτήσεις.

2. Έλλειψη της θεωρητικής υποδομής, που συχνά έχει ως αποτέλεσμα την
ελλιπή κατανόηση των εννοιών.

3. Εμάς τους μαθηματικούς, που επηρεασμένοι κάποιες φορές από το
σύστημα των εξετάσεων, την πίεση του χρόνου και την ασφυξία που προκαλεί η
ύλη, δεν δίνουμε στους μαθητές μας τη δυνατότητα «να ανακαλύψουν» τα
Μαθηματικά και να μην τα φοβούνται.

Για να ξεπεράσετε τα προβλήματα, εσείς οι μαθητές πρέπει:

1. Να καλύψετε όσο μπορείτε γρηγορότερα και καλύτερα τα κενά σας από
τις προηγούμενες τάξεις.

2. Να μην αποστηθίζετε και να μην κατατάσσετε σε κατηγορίες τις
ασκήσεις, αλλά να σκέπτεστε με παραγωγική σκέψη, χρησιμοποιώντας τη φαντασία
και τη λογική για να ελέγχετε την αξιοπιστία των σκέψεων.

3. Να εμβαθύνετε στις έννοιες που υπάρχουν ειδικά στην Ανάλυση. Κανείς
δεν μπορεί να καταλάβει π.χ. την έννοια του ορίου και της συνέχειας από τον ε’
και δ’ ορισμό τους. Βρείτε τη γοητεία των Μαθηματικών πέρα από ακατανόητες
ορολογίες και αυστηρότητα. Μην πιστεύετε ότι τα Μαθηματικά «δεν είναι για
μένα».