Μαθηματικά Προσανατολισμού

Θεωρήματα με ονοματεπώνυμο:

1) Θ. Bolzano

Εφαρμόζεται σε ασκήσεις όπου ζητείται να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση f(x)=0 (ή f(x)=g(x)) έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (α, β).

ΠΡΟΣΟΧΗ στη διατύπωση και στη γεωμετρική ερμηνεία.

2) Θεώρημα Ενδιάμεσων Τιμών (ΘΕΤ)

Εφαρμόζεται όταν θέλουμε να αποδείξουμε ότι μια συνάρτηση f παίρνει μια τιμή σε ένα ανοιχτό διάστημα (α, β).

ΠΡΟΣΟΧΗ στη διατύπωση, στην απόδειξη και στη γεωμετρική ερμηνεία.

3) Θεώρημα Μεγίστου Ελαχίστου

Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής στο [α, β] τότε παίρνει πάντα μια ελάχιστη τιμή m και μια μέγιστη τιμή Μ στο διάστημα αυτό και ισχύει πάντα m≤f(x)≤M για κάθε xЄ[α, β].

4) Θεώρημα Παράγωγος και Συνέχεια

• Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο x₀ του πεδίου ορισμού της τότε είναι και συνεχής στο x₀.

• ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΤΗΝ ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Το αντίστροφο δεν ισχύει. Δηλαδή αν η f είναι συνεχής στο x₀ δεν είναι κατ’ ανάγκη και παραγωγίσιμη στο x₀.

• Αν όμως η f δεν είναι συνεχής στο x₀ τότε δεν είναι και παραγωγίσιμη στο x₀.

5) Θεώρημα Rolle

ΠΡΟΣΟΧΗ στη διατύπωση και στη γεωμετρική ερμηνεία. Εφαρμόζεται στην f στο [α, β] και αποδεικνύει ότι η f΄ έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (α, β).

6) Θεώρημα Μέσης Τιμής (ΘΜΤ)

ΠΡΟΣΟΧΗ στη διατύπωση και στη γεωμετρική ερμηνεία. Εφαρμόζεται για την f

στο [α, β] και αποδεικνύει ότι η f΄ παίρνει την τιμή

7) Θεώρημα Fermat

Διατύπωση: Εστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και x₀ ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x₀ και είναι παραγωγίσιμη στο x₀ τότε f΄(x₀)=0.

Απόδειξη: Σχολικό βιβλίο σελίδα 142 (ΠΟΛΥ ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΤΗΝ ΑΠΟΔΕΙΞΗ)

ΠΡΟΣΟΧΗ: Το αντίστροφο του θεωρήματος δεν ισχύει.

Σπουδαίες επισημάνσεις:

1. Πρέπει να γνωρίζουμε να συνθέτουμε δύο συναρτήσεις, αλλά να μπορούμε και να τις «αποσυνθέτουμε».

2. Στην εύρεση αντίστροφης συνάρτησης δεν ξεχνάμε τους περιορισμούς του ψ, όταν διαιρούμε, λογαριθμούμε, υψώνουμε σε άρτια δύναμη, βάζουμε ρίζες.

3. Σε ένα όριο εντoπίζουμε πρώτα το είδος της απροσδιοριστίας.

4. Πρέπει να μπορούμε να βρίσκουμε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της.

5. Για μονοτονία και ακρότατα μελετάμε το πρόσημο της πρώτης παραγώγου.

6. Το ολικό ακρότατο είναι και τοπικό. Ενα τοπικό ελάχιστο μπορεί να είναι μεγαλύτερο από ένα τοπικό μέγιστο.

7. Οταν μας δίνουν δεδομένη ανίσωση το πρώτο που σκεφτόμαστε είναι το θεώρημα Fermat. Σε ανίσωση που δεν περιέχει ισότητα δεν εφαρμόζουμε θεώρημα Fermat. Τη χρησιμοποιούμε για να βρούμε πρόσημο.

8. Για την κυρτότητα και τα σημεία καμπής μελετάμε το πρόσημο και τις ρίζες της δεύτερης παραγώγου.

ΠΡΟΣΟΧΗ: Η πρόταση: Αν f΄΄(x₀)=0 τότε η f παρουσιάζει καμπή στο σημείο Μ(x₀, f(x₀)) είναι λανθασμένη διότι π.χ. η f(x)=x⁴ έχει f΄΄(0)=0 όμως η f δεν παρουσιάζει καμπή στο Ο(0, f(0)).

9. Για να βρούμε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης θα εξετάσουμε το πεδίο ορισμού της.

10. Πρέπει να μπορούμε να μελετάμε μια συνάρτηση και με τη χρήση του πίνακα μεταβολών της να σχεδιάζουμε τη γραφική παράστασή της.

11. Πρέπει να μπορούμε να βρίσκουμε τις Αρχικές των βασικών συναρτήσεων.

12. Οταν ζητάμε εμβαδό χωρίου πρέπει να ελέγχουμε τη συνέχεια της f και το πρόσημό της.

ΠΡΟΣΟΧΗ: Διαβάζουμε πολύ καλά τα σχόλια και τις παρατηρήσεις του σχολικού βιβλίου για να απαντήσουμε σωστά στις ερωτήσεις ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ.

Ο Παναγιώτης Κούσης είναι μαθηματικός στα φροντιστήρια «Ομόκεντρο»