Η λογική και τα παγωτά

Τον Ιανουάριο του 1978 ο Κουρτ Γκέντελ, ο άνθρωπος που συγκλόνισε τα θεμέλια της μαθηματικής λογικής αλλά και τη σύγχρονη φιλοσοφική σκέψη με το θεώρημα της μη πληρότητας, ένας από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς της Ιστορίας, πέθανε σ΄ ένα νοσοκομείο του Πρίνστον από ασιτία. Από ασιτία; Μάλιστα. Ο πιο λογικός άνθρωπος του καιρού του έπεσε θύμα της παράνοιάς του, που του υπέβαλλε την έμμονη ιδέα ότι οι γιατροί ήθελαν να τον δηλητηριάσουν. Γι΄ αυτό αρνιόταν να φάει. Ουσιαστικά, δηλαδή, αυτοκτόνησε από φόβο μήπως τον σκοτώσουν. Μπορεί άραγε κανείς να φανταστεί κάτι πιο παράλογο; Την ίδια στιγμή, σύμφωνα με το θεατρικό έργο του Απόστολου Δοξιάδη Η δέκατη έβδομη νύχτα, η διαιτολόγος του νοσοκομείου (επινοημένο πρόσωπο), σοφότερη μετά την ήττα της στον αγώνα να μεταπείσει τον Γκέντελ με λογικά επιχειρήματα, θεραπευόταν από τη νεύρωση της δικής της άτεγκτης, αν και διαφορετικού βέβαια επιπέδου, λογικής και αποφάσιζε να παραβεί τους κανόνες της με το να απολαύσει, μαζί με την ανορεξική κόρη της, κάτι τόσο ανθυγιεινό, επικίνδυνο, ανεπίτρεπτο όσο ένα παγωτό!

Η Δέκατη έβδομη νύχτα μιλάει για μια διπλή σύγκρουση. Αφ΄ ενός ανάμεσα στην τυπική λογική ενός μεγαλοφυούς μαθηματικού και την «πρακτική» λογική ενός καλοπροαίρετου, αλλά στενόμυαλου ανθρώπου με δρομολογημένη σκέψη και απόλυτες ιδέες για το πρέπον, αφ΄ ετέρου ανάμεσα στα δύο αυτά είδη λογικής και την πραγματικότητα. Αν το θέμα αυτό το ανέπτυσσε ένας οποιοσδήποτε συγγραφέας, μάλλον δεν θα είχε πολύ ενδιαφέρον. Και αυτό για δύο λόγους. Πρώτον, λίγοι συγγραφείς συγκινούνται από γνωσιοθεωρητικά ζητήματα και ελάχιστοι καταλαβαίνουν από μαθηματικά. Και δεύτερον- συνέπεια του πρώτου- η σύγκρουση θα διεξαγόταν με όρους που θα προκαθόριζαν την έκβασή της: φυσικά και θα μαντεύαμε εξαρχής ότι αυτοί οι απόκοσμοι τύποι με τις ακατανόητες, εξωφρενικές εμμονές θα έσπαζαν τελικά τα μούτρα τους, φυσικά και η πραγματικότητα θα αποδεικνυόταν για άλλη μια φορά πιο πολύπλοκη από τις ιδέες- γι΄ αυτό άλλωστε δεν υπάρχουν τα μυθιστορήματα;

Στο πρόσωπο του Δοξιάδη όμως έχουμε να κάνουμε με κάποιον που δεν είναι μόνον εξαιρετικός λογοτέχνης (και σκηνοθέτης), αλλά και εξαιρετικός μαθηματικός- παιδί θαύμα στα μαθηματικά είχε χαρακτηριστεί κάποτε. Όταν ένας τέτοιου είδους σύνθετος συγγραφέας μιλάει για τα όρια της μαθηματικής σκέψης και της λογικής, τα λόγια του έχουν ιδιαίτερη βαρύτητα. Όχι μόνον επειδή είναι ειδικός, αλλά και επειδή είναι σε θέση να δει τη βαθύτερα ανθρώπινη διάσταση της πνευματικής περιπέτειας των ηρώων του, τη φοβερή πάλη ανάμεσα στα φαντάσματα της σακατεμένης ψυχής τους και την προσπάθειά τους για διαύγεια, ενόραση, υπέρβαση, γνώση.

Η εικόνα του τρελού επιστήμονα είναι εδραιωμένη στο φαντασιακό της κοινής γνώμης. Οι περισσότεροι άνθρωποι πιστεύουν πως όσοι αφιερώνουν τη ζωή τους στην έρευνα είναι, με τον ένα ή τον άλλο τρόπο, ψυχικά ανισόρροποι. Τουλάχιστον για τους μαθηματικούς, αυτό δεν ισχύει. Στη συντριπτική πλειονότητά τους είναι άνθρωποι απόλυτα «φυσιολογικοί». ΄Ενας από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς όλων των εποχών μάλιστα, ο Ντάβιντ Χίλμπερτ, ήταν κοσμικότατος και η γοητεία του έκανε θραύση στις κοινωνικές συναναστροφές. Ωστόσο, είναι γεγονός ότι οι μισοί από τους περίπου δέκα μεγάλους πρωταγωνιστές της σύγχρονης μαθηματικής λογικής- ο Κάντορ, ο Πεάνο, ο ίδιος ο Γκέντελ και άλλοι- υπέφεραν από κάποιας μορφής ψυχική πάθηση. Αλλά και οι υπόλοιποι- ακόμη και ο αστραφτερός Χίλμπερτ, ακόμη και ο φλεγματικός Ράσελ- εκδήλωναν κατά καιρούς μια ακραία συμπεριφορά που παρέπεμπε σε απωθημένες φοβίες και τραύματα.

Ο περισσότερος κόσμος θα έλεγε ότι αυτές οι ψυχικές παραμορφώσεις ήταν συνέπεια της δραστηριότητας των φορέων τους: η πολλή λογική βλάπτει, όπως γενικά το να σκέφτεσαι πολύ, το να διαβάζεις πολύ κ.λπ., σύμφωνα με αυτή την αντίληψη. Ο Δοξιάδης, στην τρίτη και εκτενέστερη ενότητα αυτού του βιβλίου, το οποίο και δανείζεται τον τίτλο της, μας δείχνει πολύ ωραία ότι αληθεύει το αντίστροφο: οι ψυχικές εκτροπές των κορυφαίων μαθηματικών της νεότερης εποχής- ο ψυχαναγκασμός, η αντιδραστική νεύρωση, η φαντασίωση, η αποκοπή από την πραγματικότητα, η παράνοιαπου τους αρνούνταν μια εσωτερικά και κοινωνικά ισορροπημένη ζωή, ήταν η προϋπόθεση για να μπορέσουν αυτές οι διάνοιες να προχωρήσουν πέρα από τη γνώση και τα πλαίσια σκέψης της εποχής τους, στις σκοτεινές και απαραβίαστες περιοχές των μαθηματικών.

Απόστολος Δοξιάδης

ΑΠΟ ΤΗΝ ΠΑΡΑΝΟΙΑ ΣΤΟΥΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥΣ

Η ΔΕΚΑΤΗ ΕΒΔΟΜΗ ΝΥΧΤΑ ΚΑΙ ΑΛΛΕΣ ΔΙΑΔΡΟΜΕΣ

ΕΚΔ. ΙΚΑΡΟΣ, ΑΘΗΝΑ 2006 ΣΕΛ. 365, ΤΙΜΗ: 21 ευρώ

Και λοιπόν, θα πει κανείς. Τι σημασία έχουν για εμάς τους μη επαΐοντες τα τεχνικά ζητήματα ενός κλάδου όπως τα καθαρά μαθηματικά, που στα μάτια μας δεν είναι παρά ένα ακατάληπτο διανοητικό παιχνίδι; Μα εδώ δεν πρόκειται για απλώς τεχνικά ζητήματα. Οι δέκα «λοξοί» που προαναφέραμε αντιπροσωπεύουν σταθμούς μιας δραματικής εξέλιξης στα νεότερα μαθηματικά, μιας κρίσης που η απροσδόκητη έκβασή της έχει καταλυτικές επιπτώσεις στη φιλοσοφία και σε οποιαδήποτε θεωρία για τη γνώση. Η Δέκατη έβδομη νύχτα παρουσιάζει τον μαθηματικό που σημάδεψε αυτή την έκβαση, τον Γκέντελ, θανάσιμα παγιδευμένο στη μαθηματική λογική του, που τροφοδοτεί την παρανοϊκή συμπεριφορά του. Ο Δοξιάδης έγραψε ένα θεατρικό έργο γεμάτο δραματική ένταση, αλλά και χιούμορ, με αίσθηση του κωμικοτραγικού, αφαιρετική λιτότητα, ευελιξία στην εναλλαγή των σκηνών και εύστοχη χρήση αποστασιοποιητικών εφέ – μπρεχτική ηθοποιία, συμβολική διαίρεση του χώρου όπως στην ταινία Dogville κ.λπ. Παρ΄ όλα αυτά, νομίζω πως το δραματικό και, πολύ περισσότερο, το φιλοσοφικό υπόβαθρο αυτού του έργου γίνονται πλήρως κατανοητά μόνον αν διαβάσει κανείς το τρίτο κείμενο του βιβλίου, τον διάλογο ανάμεσα στον Δοξιάδη και έναν φίλο του, ο οποίος αναλαμβάνει να υποδυθεί τον ίδιο ρόλο όπως ο Σιμπλίκιος στους διαλόγους του Γαλιλαίου, τον ρόλο δηλαδή του απλοϊκού ανθρώπου που ενσαρκώνει τον κοινό νου.

Δεν διστάζω να πω ότι ο διάλογος αυτός είναι η σφαιρικότερη, εναργέστερη και ζωντανότερη πραγματεία που έχω διαβάσει γύρω από τα νεότερα μαθηματικά, γιατί ο Δοξιάδης, με την αυτοπεποίθηση του μαθηματικού να συνεπικουρεί τη διορατικότητα του λογοτέχνη, κάνει κάτι που σπάνια αποτολμάται: τοποθετεί τα μαθηματικά μέσα στη γενικότερη ιστορία των ιδεών και συναρτά την πορεία τους όχι μόνο με τις ψυχικές ιδιαιτερότητες των πρωταγωνιστών τους, αλλά και με το πολιτισμικό κλίμα της κάθε εποχής.

Μα δεν είναι τα μαθηματικά η καθαρότερη επιστήμη, η καθαρότερη μάλιστα μορφή σκέψης, εντελώς ανεξάρτητη από τους νόμους ή τα καπρίτσια της Ιστορίας, τις επιδράσεις του περιβάλλοντος και το θυμικό του σκεπτόμενου υποκειμένου; Αυτό πίστευαν ακράδαντα όλοι, μαθηματικοί και μη, ώς τα μέσα του 19ου αιώνα. Τα μαθηματικά ήταν σαν τις πλατωνικές ιδέες: εξέφραζαν μια ανώτερη, αμετάβλητη πραγματικότητα, αποκάλυπταν την έσχατη, αιώνια αλήθεια για τη δομή του κόσμου. Αλλά η εμφάνιση των πρώτων μη ευκλείδειων γεωμετριών εκείνη την εποχή κλόνισε αυτή την πεποίθηση. Αν τα αξιώματα του Ευκλείδη δεν είναι τόσο αυτονόητα και μπορούν να δημιουργηθούν άλλα αξιωματικά συστήματα εξίσου συνεπή, ποια είναι η σχέση των μαθηματικών με την πραγματικότητα, με την αλήθεια;

Κατόπιν, γύρω στο 1880, ο μέγας Κάντορ τόλμησε να κάνει αυτό που ο επίσης μέγας Γκάους είχε προειδοποιήσει τους μαθηματικούς να μην επιχειρήσουν ποτέ: να αναμετρηθούν με το άπειρο. Και ο ασκός του Αιόλου άνοιξε τότε για τα καλά. Με αφετηρία τη θεωρία των συνόλων του Κάντορ, που ήταν απόρροια αυτού του εγχειρήματος, ένας άλλος μεγάλος μαθηματικός, ο Φρέγκε, ξεκίνησε μια τιτάνια προσπάθεια: να αναγάγει τα μαθηματικά στη λογική. Πριν προλάβει να χαρεί για την ολοκλήρωση του οικοδομήματος του, ο Ράσελ τού επισήμανε, με το περίφημο παράδοξο που φέρει έκτοτε το όνομά του, ότι κάτι σαθρό υπήρχε στα θεμέλια. ΄Επειτα ο ίδιος ο Ράσελ, μαζί με τον Ουάιτχεντ, προσπάθησαν να πετύχουν ό, τι δεν κατόρθωσε ο Φρέγκε. Το κολοσσιαίο έργο τους Ρrincipia Μathematica εγκαταλείφθηκε ημιτελές- σημάδι ότι δεν μπορούσαν να το ολοκληρώσουν.

Στο μεταξύ ο 20ος αιώνας προχωρούσε και οι μαθηματικοί όπου γης συνέχιζαν να εργάζονται για την υλοποίηση του μεγαλεπήβολου προγράμματος που είχε εξαγγείλει ο τιτάνας Χίλμπερτ στη χαραυγή του αιώνα: την απόλυτα λογική θεμελίωση των μαθηματικών, έτσι ώστε οποιοδήποτε ερώτημα τεθεί μέσα στα πλαίσιά τους να επιδέχεται απάντηση. Και ξαφνικά, το 1931, ένας παντελώς άγνωστος, νεαρός Αυστριακός μαθηματικός ονόματι Κουρτ Γκέντελ αποδεικνύει με ατράνταχτα μαθηματικό τρόπο ότι το πρόγραμμα δεν μπορεί να πραγματοποιηθεί, ότι είναι μια χίμαιρα! Είναι αδύνατο να υπάρξει ένα λογικό σύστημα, οσοδήποτε συνεκτικό, που να μπορεί να αποδείξει την αλήθεια ή αναλήθεια κάθε πρότασης που διατυπώνεται με τους όρους του. Θα υπάρχει πάντα τουλάχιστον μία πρόταση που δεν θα μπορεί να αποδειχτεί ή να διαψευστεί. Αυτό είναι, όσο πιο απλά μπορούμε να το περιγράψουμε, το θεώρημα της μη πληρότητας. Σε ελεύθερη μετάφρασή του: η αλήθεια είναι ευρύτερη από τη λογική, η λογική δεν αρκεί πάντα για την προσπέλασή της.

Νά λοιπόν η τραγική ειρωνεία του τέλους του Γκέντελ σε όλο της το μέγεθος: ο άνθρωπος που απέδειξε ότι η λογική έχει τα όριά της πέθανε επειδή ακριβώς δεν μπορούσε να υπερβεί τα όρια της δικής του (παρανοϊκής) λογικής! Ενώ, σαν να ήθελε η πραγματικότητα να κάνει μια πρόσθετη ειρωνική υπενθύμιση της προτεραιότητάς της και των δόλιων τρόπων της, μια ασήμαντη, ξεροκέφαλη διαιτολόγος έβγαζε το σωστό συμπέρασμα από αυτή την ιστορία.

Ότι, δηλαδή, εκτός από τη λογική υπάρχουν και τα παγωτά.