Ξενοδοχείον Πόρτο… Xίλμπερτ

Ο ιδιοκτήτης του Πόρτο Καρράς ευλόγως ισχυρίζεται ότι εν όψει της αφίξεως περισσότερων επισκεπτών χρειάζεται κι άλλα δωμάτια. Όλη αυτή η φασαρία των περασμένων ημερών θα είχε αποφευχθεί, αν στην αρχική επένδυση είχε επιλεγεί ένα μοντέλο ξενοδοχείου σαν αυτό που συνήθιζε να περιγράφει ο David Hilbert

Την περασμένη εβδομάδα, στα παράθυρα των τηλεοράσεων και τα πρωτοσέλιδα των
εφημερίδων κυριάρχησε η λεγόμενη «τροπολογία Πάχτα», μια από τις πολλές
ρουσφετολογικές-φωτογραφικές ρυθμίσεις της τελευταίας στιγμής, που περνούν
άρον άρον αυτές τις ημέρες από τη Βουλή, με βάση τη συμμετοχική διαδικασία τού
«ό,τι φάμε, ό,τι πιούμε…». Αν καταλάβαμε καλά, εγκρίθηκε ο αποχαρακτηρισμός
μιας μεγάλης δασικής έκτασης, έτσι ώστε η περιοχή να αποψιλωθεί και να
διατεθεί για την επέκταση μιας ξενοδοχειακής μονάδας. Ο ιδιοκτήτης ευλόγως
ισχυρίζεται ότι εν όψει της αφίξεως περισσότερων επισκεπτών χρειάζεται κι άλλα
δωμάτια.

Στη συνέχεια, έγινε γνωστή και δεύτερη τροπολογία για την επέκταση,
αυτή τη φορά, ενός ξενοδοχείου της Εκάλης. Εδώ μάλιστα δεν κατέστη δυνατόν να
γίνει «αυτοκάθαρσις», γιατί ο εν δυνάμει αρχηγός θα έπρεπε, μεταξύ άλλων, να
αυτοκαθαρθεί.

Όλη αυτή η φασαρία θα είχε αποφευχθεί, αν στην αρχική επένδυση είχε επιλεγεί
ένα μοντέλο ξενοδοχείου σαν αυτό που συνήθιζε να περιγράφει ο David Hilbert.
Το ξενοδοχείο αυτό έχει άπειρα δωμάτια, αριθμημένα κατά σειρά 1, 2, 3,.. Σε
όσους βιαστούν να παρατηρήσουν ότι ένα ξενοδοχείο με άπειρα δωμάτια δεν θα
απαιτούσε την αποψίλωση μόνο της Χαλκιδικής ή της Εκάλης αλλά ολόκληρης της
Ελλάδας, και πάλι δεν θα έφτανε, απαντούμε: α) Ακόμα κι έτσι, νομίζετε ότι
πολιτικοί και εργολάβοι θα δίσταζαν να τσιμεντάρουν ακόμα και ολόκληρη την
Ελλάδα, αν τους έπαιρνε; και β) Όπως θα δούμε πιο κάτω, από μαθηματική άποψη
δεν είναι καθόλου απαραίτητο ένα ξενοδοχείο με άπειρα δωμάτια να καταλαμβάνει
άπειρο χώρο. Από τεχνική άποψη βέβαια, υπάρχει μια μικρή λεπτομέρεια που
πρέπει να ρυθμιστεί…

Ας δούμε όμως τα πλεονεκτήματα ενός ξενοδοχείου με άπειρα δωμάτια,
αριθμημένα με τον απλούστερο δυνατό τρόπο: 1, 2, 3, 4… Ας υποθέσουμε ότι τη
στιγμή που καταφθάνει ένας υψηλός επισκέπτης το ξενοδοχείο είναι πλήρες. Τι θα
κάνουμε; Απλό! Θα μετακινήσουμε τον ένοικο του δωματίου 1 στο δωμάτιο 2, αυτόν
του 2 στο 3, αυτόν του 3 στο 4, αυτόν του 567 στο 568 και ούτω καθ’ εξής. Έτσι
θα αδειάσει το δωμάτιο 1 για τον υψηλό επισκέπτη μας. Και ο ένοικος του
τελευταίου δωματίου; Μα ακριβώς επειδή οι ακέραιοι αριθμοί είναι άπειροι, δεν
υπάρχει «τελευταίο δωμάτιο»!

Τι θα γίνει όμως αν ο εν λόγω VIP φέρει, εντελώς απροσδόκητα, και δέκα φίλους
του; (κάτι τέτοια τα συνηθίζουν οι VIPS). Θα χρειαστούμε 11 δωμάτια. Έτσι θα
μεταφέρουμε τον ένοικο του 1 στο 1+11=12, τον ένοικο του 2 στο 2+11=13 και
γενικότερα τον ένοικο του δωματίου ν στο δωμάτιο ν+11. Θα αδειάσουν έτσι 11
δωμάτια και θα βολέψουμε και τον υψηλό επισκέπτη μας και τους δέκα κολλητούς
του.

Αφού όμως επεξεργαζόμαστε ένα θεωρητικό μοντέλο, γιατί να αρκεστούμε στην
άφιξη πεπερασμένου μόνο αριθμού νέων ενοίκων; Γιατί να μη φανταστούμε ότι
καθένας από τους άπειρους ενοίκους του ξενοδοχείου μας θα κλωνοποιηθεί
αυτόματα; Σ’ ένα πλήρες ξενοδοχείο με άπειρα δωμάτια θα χρειαστούμε άπειρα
ακόμη δωμάτια, για να βολέψουμε και τους κλώνους των ενοίκων μας. Απλό! Θα
μεταφέρουμε τον πελάτη τού δωματίου 1 στο δωμάτιο 2, τον πελάτη τού 2 στο 4,
αυτόν τού 3 στο 6 και γενικότερα τον ένοικο του δωματίου ν στο δωμάτιο που
έχει τον διπλάσιο αριθμό, 2ν. Έτσι, οι παλιοί πελάτες θα καταλάβουν όλα τα
δωμάτια με ζυγό αριθμό, αφήνοντας τα δωμάτια με μονό αριθμό ελεύθερα. Καθώς
πριν από κάθε ζυγό αριθμό υπάρχει ένας μονός, ο κάθε παλιός πελάτης θα
τακτοποιήσει τον κλώνο του στο αμέσως προηγούμενο δωμάτιο. Έτσι, για
παράδειγμα, ο παλιός ένοικος του δωματίου 5 θα πάει στο δωμάτιο 2×5=10 και ο
κλώνος του στο αμέσως προηγούμενο δωμάτιο, το 9. Ανάλογη ρύθμιση μπορεί να
γίνει, αν όλοι οι ένοικοι αποκτήσουν ταυτόχρονα περισσότερους από έναν
κλώνους.

Όλες αυτές οι διευθετήσεις που μυρίζουν από μακριά παράδοξο, οφείλονται
στην ατέρμονα φύση του απείρου, στην ιδέα δηλαδή ότι ύστερα από κάθε δωμάτιο
υπάρχει πάντα ένα επόμενο δωμάτιο. Οι αρχαίοι Έλληνες προτιμούσαν να
διοχετεύουν την πλούσια φαντασία τους στους μύθους, ενώ στις μαθηματικές τους
ενατενίσεις ήταν ιδιαίτερα προσεκτικοί. Γι’ αυτό και αντιμετώπιζαν την έννοια
του απείρου με εξαιρετική επιφυλακτικότητα, τόσο που οι μεταγενέστεροι
σχολιαστές τούς κατηγόρησαν ότι διακατέχονται από το δέος του απείρου (horror
infiniti). Ωστόσο, η έννοια του απείρου είναι κομβική στην ανάπτυξη των
Μαθηματικών. Έτσι ο Ευκλείδης στη θεμελίωση της Γεωμετρίας συμπεριλαμβάνει το
δεύτερο αίτημα: «Και πεπερασμένην ευθείαν κατά το συνεχές επ’ ευθείας
εκβαλείν» (κάθε πεπερασμένη ευθεία μπορεί να προεκταθεί ευθύγραμμα και
συνεχώς).

Έξι μέτρα ύψος, και άπειρα δωμάτια!

Σχέδιο του μοντέλου ξενοδοχείου του Hilbert, με άπειρα δωμάτια

Σήμερα γνωρίζουμε ότι ένα άθροισμα με άπειρους προσθετέους είναι δυνατόν να
ισούται με μια πεπερασμένη ποσότητα (ίσως αρκετοί αναγνώστες να θυμούνται από
τα σχολικά τους χρόνια ότι πρόκειται για το «άθροισμα των άπειρων όρων μιας
γεωμετρικής προόδου με λόγο μικρότερο της μονάδας») και ότι το υπό αμφισβήτηση
άπειρο άθροισμα ισούται πραγματικά με 1. Με βάση αυτό το στοιχείο θα λύσουμε
και το πρόβλημα της έκτασης του ξενοδοχείου μας με τα άπειρα δωμάτια:

Αφού πρόκειται για ξενοδοχεία πολυτελείας, ας δημιουργήσουμε
οροφοδιαμερίσματα. Το ύψος ενός άνετου και πολυτελούς δωματίου δεν χρειάζεται
να ξεπερνά τα 3 μέτρα. Σε κάθε νέο οροφοδιαμέρισμα θα δίνουμε ύψος το μισό του
προηγούμενου, δηλαδή το 2ο θα έχει ύψος (1/2)x3, το επόμενο (1/4)x3 κ.ο.κ.
Έτσι το συνολικό ύψος του χτίσματος θα είναι 3+(1/2)x3+(1/4)x3+…. =
3+3(1/2+1/4+1/8+1/16+…). Όμως, όπως εξηγήσαμε πιο πάνω, η ποσότητα μέσα στην
παρένθεση ισούται με 1, άρα το συνολικό ύψος του Πόρτο Χίλμπερτ θα είναι μόλις
6 μέτρα, τίποτα δηλαδή μπροστά στα τέρατα των Ολυμπιακών Αγώνων.

Μένει η τεχνική λεπτομέρεια του πώς θα χωράνε στο δωμάτιό τους ο ένοικοι των
πάνω δωματίων. Αυτό μπορεί να λυθεί με μια συσκευή που κάθε φορά που
ανεβαίνουμε έναν όροφο μειώνει το ύψος μας στο μισό, ενώ κάθε φορά που τον
κατεβαίνουμε, το διπλασιάζει.

Κι αν μια τέτοια συσκευή σάς φαίνεται απίθανη, ερωτώ: Σας φαίνεται πιο πιθανό
σε μια δημοκρατική Πολιτεία να περνά από τη Βουλή ένας νόμος με τον οποίο ο
Πρωθυπουργός, ο αρμόδιος υπουργός και ο υποψήφιος Πρωθυπουργός είναι όλοι
αντίθετοι; Αν ναι, δεν έχω να προσθέσω τίποτα άλλο.

Το πειραχτήρι ονόματι Ζήνων και τα παράδοξα

Ο Ζήνων ο Ελεάτης, αυτό το τρομερό πειραχτήρι που δεν έχανε ευκαιρία να
φέρνει, όπως και όποτε μπορούσε, τους συναδέλφους του φιλοσόφους σε δύσκολη
θέση, διατύπωσε μια σειρά από παράδοξα (τέσσερα διασώζονται στα γραπτά του
Αριστοτέλη), που όλα εκκινούν από τη λανθασμένη αντιμετώπιση του απείρου. Ένα
από αυτά είναι το «παράδοξο της διχοτομίας». Σύμφωνα με αυτό, η κίνηση είναι
αδύνατη. Γιατί αν κάποιος επιθυμεί να διανύσει μια απόσταση ενός σταδίου,
πρέπει πρώτα να διανύσει τη μισή απόσταση. Αν καταφέρει να φτάσει έως τη μέση,
έχοντας διανύσει 1/2 του σταδίου, θα του μένει ακόμα 1/2 να διανύσει. Για να
το διανύσει όμως, οφείλει να διανύσει πρώτα τη… μισή της μισής απόστασης,
δηλαδή το 1/4 του σταδίου και θα του μένει ακόμα 1/4 να διανύσει. Για να το
διανύσει όμως, πρέπει πρώτα να διανύσει το μισό τού μισού τού μισού, δηλαδή το
1/8 του σταδίου κ.ο.κ. Επομένως, για να διανύσει κανείς ένα στάδιο, πρέπει να
διανύσει 1/2+1/4+1/8+1/16+… και αφού αυτό το άθροισμα έχει άπειρους
προσθετέους, δεν είναι δυνατόν να ισούται με 1!

INFO

Για περισσότερα προτείνουμε το βιβλίο του Rudy Rucker, «Το άπειρο και ο νους»,
από τις Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης.

Ο Τεύκρος Μιχαηλίδης είναι διδάκτωρ των Μαθηματικών. Εργάζεται ως
καθηγητής στη Μέση Εκπαίδευση και ως μεταφραστής.