Tο κυνήγι των αναποφάσιστων

Στα μαθηματικά οι ερευνητές… αποφασίζουν τις αναποφάσιστες προτάσεις (αν είναι ψευδείς ή αληθείς). Μπροστά στις κάλπες οι ψηφοφόροι γίνονται από αναποφάσιστοι… αποφασισμένοι

Όταν σιμώνουν οι εκλογές στα επιτελεία των κομμάτων αλλά και στα γραφεία των
δημοσκόπων ηχούν οι σάλπιγγες για ένα παράξενο σαφάρι: το κυνήγι των
αναποφάσιστων. Οι πολιτικοί τούς λατρεύουν. Είναι οι «βαθιά σκεπτόμενοι
πολίτες που δεν ακολουθούν την αγέλη, που διατηρούν την προσωπικότητά τους,
που κρίνουν με γνώμονα το συμφέρον του έθνους» και που γι’ αυτό, με πλήρη
συναίσθηση της ευθύνης τους… θα τους ψηφίσουν. Οι δημοσκόποι βλέπουν σ’
αυτούς τον λόγο και της δικής τους ύπαρξης. Αν όλα ήταν ξεκάθαρα, αν οι
αναποφάσιστοι δεν υπήρχαν, το αποτέλεσμα των εκλογών θα ήταν προδιαγεγραμμένο,
όλες οι δημοσκοπήσεις θα μπορούσαν να το προβλέψουν με την ίδια ακρίβεια και
κανείς δεν θα τις διάβαζε, άρα κανείς δεν θα τις πλήρωνε.

Οι εκλογοδιαφημιστές – Σεγκελά, Τζωρτζ Στεφανόπουλος και Σία – τάζουν στους
πολιτικούς ότι θα τους σερβίρουν τους αναποφάσιστους στο πιάτο. Θα εντοπίσουν
τις ευαισθησίες τους, θα συλλάβουν τον προβληματισμό τους και θα συντονίσουν
αφίσες, ραδιοτηλεοπτικά σποτάκια και αυτοκόλλητα σε μια τεράστια απόχη που θα
τους ψαρέψει και θα τους ρίξει στο τηγάνι του πελάτη τους.

Πριν από περίπου έναν αιώνα, το 1900, οργανώθηκε στο Παρίσι το Δεύτερο Διεθνές
Συνέδριο Μαθηματικών. Κυριαρχούσαν οι φυσιογνωμίες του Henri Ρoincarι, του
τελευταίου φυσικού φιλοσόφου, και του David Hilbert, του θεμελιωτή της
σύγχρονης αντίληψης για τα Μαθηματικά. Ο πρώτος, που ήταν και ο οικοδεσπότης,
ζήτησε από τον δεύτερο να χρησιμοποιήσει την πείρα του για να προβλέψει χάριν
των συνέδρων τις τάσεις που θα επικρατούσαν στα Μαθηματικά του εικοστού αιώνα,
ο οποίος μόλις είχε ανατείλει.

Σε μια ιστορική ομιλία που δόθηκε στις 8 Αυγούστου 1900 στο αμφιθέατρο
της Σορβόννης, ο Hilbert απαρίθμησε 23 προβλήματα που, κατά τη γνώμη του, θα
αποτελούσαν την καρδιά της μαθηματικής έρευνας στην επερχόμενη εκατονταετία.
Από αυτά, το δεύτερο ζητούσε να αποδειχθεί ότι η θεμελίωση της Αριθμητικής
είναι πλήρης και χωρίς αντιφάσεις. Εύκολα καταλαβαίνει κανείς τι είναι η «μη
αντιφατικότητα». Δεν θέλουμε χρησιμοποιώντας από τη μια κάποια θεωρήματα αυτής
της θεωρίας να μπορεί κανείς να αποδείξει ότι 3+3=6 και από την άλλη
στηριζόμενος σε άλλα θεωρήματα να δείχνει ότι 3+3=7.

Λίγο πιο δύσκολη είναι η έννοια της «πληρότητας». Στα πλαίσια κάθε θεωρίας
υπάρχουν προτάσεις που μπορούν να χαρακτηρισθούν ως «αληθείς» – είναι οι
προτάσεις για τις οποίες υπάρχει μια απόδειξη στηριγμένη σε άλλες προτάσεις
της ίδιας θεωρίας – και προτάσεις που χαρακτηρίζονται «ψευδείς» – είναι οι
προτάσεις που συνήθως καταρρίπτονται με ένα αντιπαράδειγμα. Έτσι η πρόταση «αν
πολλαπλασιάσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή ενός κλάσματος με τον ίδιο
αριθμό η τιμή του κλάσματος δεν αλλάζει» είναι αληθής. Την απόδειξή της μπορεί
να τη βρει κανείς σε οποιοδήποτε γυμνασιακό βιβλίο Αριθμητικής.

Εμείς εδώ θα αρκεστούμε σ’ ένα παράδειγμα: 1/2 = 0,5, αλλά και
(1×3)/(2×3)=3/6=0,5. Αντίθετα η πρόταση «αν προσθέσουμε στον αριθμητή και τον
παρονομαστή ενός κλάσματος τον ίδιο αριθμό η τιμή του κλάσματος δεν αλλάζει»
είναι ψευδής. Για παράδειγμα 0,5=1/2 που είναι διαφορετικό από το
(1+3)/(2+3)=0,8. Υπάρχουν όμως και προτάσεις που είναι ανοικτές, δεν έχει
δηλαδή αποδειχθεί αν είναι αληθείς ή ψευδείς (κάτι σαν αναποφάσιστες…).
Δουλειά των ερευνητών Μαθηματικών είναι να τις… αποφασίσουν, είτε δηλαδή να
αποδείξουν ότι είναι αληθείς είτε να βρουν κάποιο αντιπαράδειγμα που να τις
καταρρίπτει. Είναι λοιπόν οι μαθηματικοί ερευνητές κάτι σαν τους επιτελάρχες
των κομμάτων και τους εκλογοδιαφημιστές. Προσπαθούν να στρέψουν τις
αναποφάσιστες προτάσεις προς τη μία ή την άλλη κατεύθυνση. Με τη διαφορά ότι
αντίθετα με τον κομματάρχη ο μαθηματικός δεν ενδιαφέρεται προς ποια κατεύθυνση
θα είναι η απόφαση της ανοικτής πρότασης. Είτε την αποδείξει είτε την
καταρρίψει, η δόξα θα είναι γι’ αυτόν η ίδια. Το θέμα είναι να έχουμε τη
βεβαιότητα ότι τελικά το ένα από τα δύο μπορεί να γίνει. Και αυτό ακριβώς
είναι το πρόβλημα της πληρότητας.

H μη πληρότητα τάραξε τα νερά

Μια μαθηματική θεωρία είναι πλήρης αν όλες οι προτάσεις που διατυπώνονται στα
πλαίσιά της μπορούν να χαρακτηρισθούν ως αληθείς ή ψευδείς. Αυτό ζητούσε ο
Hilbert με το δεύτερο πρόβλημά του. Να αποδειχθεί ότι όλες οι προτάσεις της
Αριθμητικής είναι «αποφασίσιμες». Τριάντα ένα χρόνια αργότερα, ένας
εικοσιπεντάχρονος Αυστριακός μαθηματικός, ο Kurt Goedel, απεδείκνυε ότι κάτι
τέτοιο είναι αδύνατον. Απέδειξε, δηλαδή, ότι μια θεωρία αρκετά πλούσια ώστε να
περιέχει και την κλασική Αριθμητική θα περιλαμβάνει πάντα και προτάσεις που
δεν θα μπορούν ούτε να αποδειχθούν ούτε να καταρριφθούν στα πλαίσια αυτής της
θεωρίας.

Με το «θεώρημα της μη πληρότητας» ο Goedel τάραξε τα νερά των Μαθηματικών. Δεν
κατέρριψε απλώς μια εικασία του μεγάλου Hilbert. Ανέτρεψε ένα ολόκληρο
πρόγραμμα που δύο από τις σημαντικότερες μαθηματικές σχολές, η λογικιστική και
η φορμαλιστική, είχαν σχεδιάσει. Γιατί, στην ουσία, το θεώρημα της μη
πληρότητας αποδεικνύει ότι καμία σοβαρή μαθηματική θεωρία δεν μπορεί να
χαρακτηρισθεί ως «τελειωμένο προϊόν», αφού πάντοτε θα περιέχει αναποφάσιστες
και – ακόμα χειρότερα – «μη αποφασίσιμες» προτάσεις. Κι αν αυτή η διαπίστωση
σε πρώτη ανάγνωση κλονίζει την όποια πίστη έχει κανείς στα Μαθηματικά –
θυμάμαι την απογοήτευσή μου όταν δεκαοκτάχρονος μαθητής και υποψήφιος φοιτητής
των Μαθηματικών διάβασα για πρώτη φορά σχετικά με το θεώρημα του Goedel – σε
τελευταία ανάλυση καταδεικνύει ότι τα Μαθηματικά δεν είναι ένα απλό
μηχανιστικό παιχνιδάκι, βορά για τους σύγχρονους υπερ-υπολογιστές, αλλά κάτι
πολύ πιο βαθύ και σοβαρό.

Το θεώρημα της μη πληρότητας φαίνεται να μας στερεί το αίσθημα της ασφάλειας
ότι μία θεωρία που δημιουργήσαμε δεν θα μας δημιουργήσει στο μέλλον
προβλήματα. Στην πραγματικότητα όμως μας προσφέρει πολύ περισσότερα, αφού μας
εγγυάται ότι τα Μαθηματικά, από τη φύση τους, δεν θα μπορέσουν ποτέ να
αυτοματοποιηθούν, ότι η καθημερινή δοκιμασία τους στην πράξη, η επαλήθευσή
τους στα μοντέλα, οι διαδοχικές αναιρέσεις, γενικεύσεις και επανιδρύσεις (άλλη
καραμέλα των πολιτικών κι αυτή!) των μαθηματικών θεωριών θα είναι η μόνη
δυνατή διαδικασία παραγωγής τους.

Συστατικό της μαθηματικής θεωρίας

Ο Kurt Goedel (αριστερά) που απέδειξε ότι μια αρκετά πλούσια μαθηματική θεωρία θα περιέχει πάντα αναποφάσιστες προτάσεις. Εδώ ποζάρει με τον Αϊνστάιν στους κήπους του Ινστιτούτου Εμβαθυμένων Σπουδών στο Πρίνστον

Αναποφάσιστοι ψηφοφόροι και αναποφάσιστες μαθηματικές προτάσεις μοιράζονται
κοινά χαρακτηριστικά. Μια εκλογή χωρίς αναποφάσιστους ψηφοφόρους χάνει κάτι
από το κύρος της, την ποικιλομορφία της, την ουσία της. Μία θεωρία χωρίς
αναποφάσιστες προτάσεις απλώς δεν μπορεί να υπάρξει. Κι αν το θεώρημα του
Goedel δείχνει πως τα Μαθηματικά δεν θα γίνουν ποτέ απλό παιχνίδι για λιγότερο
ή περισσότερο έξυπνα κομπιουτεράκια, αναρωτιέται κανείς γιατί αφήνουμε την
πολιτική – δηλαδή το μέλλον μας – απλό παιχνίδι στα χέρια των πολιτικών.

INFO

Για όσους θέλουν να μάθουν περισσότερα, το βιβλιαράκι των Nagel και Newman,
«Το θεώρημα του Goedel» (Εκδόσεις Τροχαλία) είναι πολύ χρήσιμο.

O Τεύκρος Μιχαηλίδης είναι διδάκτωρ των Μαθηματικών. Εργάζεται ως
καθηγητής στη Μέση Εκπάιδευση και ως μεταφραστής