Eν τη ενώσει η ισχύς

Από τον… άβακα φτάσαμε στον συνδυασμό 130.000 ηλεκτρονικών υπολογιστών για την ανακάλυψη ενός νέου «πρώτου αριθμού». Κάτω: Ο μεγαλύτερος γνωστός σήμερα «πρώτος αριθμός». Απ’ ό,τι φαίνεται τις επόμενες ημέρες θα χάσει τα πρωτεία, αφού μάλλον έχει ανακαλυφθεί κάποιος άλλος, ακόμη μεγαλύτερος

Συμβαίνει συχνά κάποιο επιστημονικό επίτευγμα να αποδίδεται σε περισσότερα από
ένα άτομα. Υπάρχουν μαθηματικά θεωρήματα που, ασχέτως με το όνομα που φέρουν,
είναι προϊόντα πολυετών προσπαθειών μιας ολόκληρης σειράς ερευνητών.
Χαρακτηριστικό είναι το παράδειγμα του τελευταίου θεωρήματος του Φερμά, ενός
προβλήματος το οποίο έθεσε ο Γάλλος μαθηματικός Πιερ Φερμά το 1637 και που
τελικά λύθηκε από τον Άντριου Γουάιλς το 1995 ύστερα από μια βήμα προς βήμα
προσέγγιση που διήρκεσε πάνω από 350 χρόνια και στην οποία συνέβαλαν
καθοριστικά περισσότεροι από δέκα κορυφαίοι μαθηματικοί. Στις μέρες μας ο
θεσμός της ερευνητικής ομάδας που προσεγγίζει συλλογικά ένα πρόβλημα είναι
πολύ συνηθισμένος και δεν προκαλεί καμιά έκπληξη. Ωστόσο, το επίτευγμα που θα
μας απασχολήσει σήμερα ξεπερνά όλα τα ρεκόρ συλλογικότητας, αφού
πραγματοποιήθηκε με τη συντονισμένη προσπάθεια περισσοτέρων των 130.000
χρηστών ηλεκτρονικών υπολογιστών, ερασιτεχνών στη μεγάλη τους πλειοψηφία.

Στις 19 Νοεμβρίου 2003, στον δικτυακό τόπο GIMPS (Great Internet Mersenne
Prime Search – Μεγάλη Διαδικτυακή Έρευνα Πρώτων του Μερσέν) ανακοινώθηκε η
ανακάλυψη ενός νέου πρώτου αριθμού του Μερσέν. Εάν η ανακάλυψη αυτή
επιβεβαιωθεί (κάτι που αναμένεται να γίνει μέσα στον Δεκέμβριο), θα πρόκειται
για τον τεσσαρακοστό τέτοιο αριθμό που ανακαλύπτεται. Οι έξι τελευταίοι
ανακαλύφθηκαν όλοι από το GIMPS, ένα δίκτυο ερασιτεχνών ερευνητών που από το
1996 δραστηριοποιείται στο Internet με στόχο την ανακάλυψη ολοένα μεγαλύτερων
πρώτων αριθμών.

Ας πάρουμε όμως τα πράγματα από την αρχή. Πρώτος αριθμός είναι κάθε
ακέραιος μεγαλύτερος από το 1 που δεν έχει άλλους διαιρέτες εκτός από τον
εαυτό του και τη μονάδα. Έτσι οι αριθμοί 2,3,5,7 είναι πρώτοι, ενώ ο 4 που
διαιρείται και διά 2 ή ο 15 που έχει ως διαιρέτες το 3 και το 5 δεν είναι
πρώτοι.

Οι πρώτοι αριθμοί απασχόλησαν ιδιαίτερα τους αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς. Ο
Ευκλείδης απέδειξε ότι είναι άπειροι (βλ. Συνειρμούς της 20/11). Ο Ερατοσθένης
(276-194 π.X.), διευθυντής της Βιβλιοθήκης της Αλεξάνδρειας και ο πρώτος που
υπολόγισε την περιφέρεια της Γης, επινόησε μια μέθοδο, γνωστή ως «το κόσκινο
του Ερατοσθένη» για τον προσδιορισμό των πρώτων αριθμών.

Το ενδιαφέρον για τους πρώτους αριθμούς είναι τόσο θεωρητικό, αφού αποτελούν
τους δομικούς λίθους του αριθμητικού συστήματος, όσο και πρακτικό αφού έχουν
εφαρμογές στην κρυπτογραφία. Ενδιαφέρον παρουσιάζει η δημιουργία τύπων που
παράγουν πρώτους αριθμούς. Ένας από τους απλούστερους τέτοιους τύπους είναι ο
M(ν) = 2^ν-1, όπου ν ακέραιος αριθμός. Για παράδειγμα όταν ν=2 ο
τύπος δίνει τον αριθμό Μ(2)=2×2-1=3 ενώ για ν=3 έχουμε τον M(3)=2x2x2-1=7, που
είναι και οι δύο πρώτοι αριθμοί. Δεν είναι όλοι οι αριθμοί αυτού του τύπου
πρώτοι. Για παράδειγμα, ο M(11)=2¹¹-1=2047 διαιρείται ακριβώς με το
23 (2047=23×89). Ωστόσο, ο μαθηματικός και μοναχός Μαρέν Μερσέν (1588-1648)
που τους επινόησε ισχυρίστηκε ότι υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί αυτού του
τύπου.

Τα επόμενα χρόνια, μαθηματικοί ανακάλυψαν πρώτους του Μερσέν. Ο Ελβετός
μαθηματικός Όιλερ απέδειξε το 1750 ότι ο M(31) (πολλαπλασιάζω το 2 με τον
εαυτό του 31 φορές και στη συνέχεια αφαιρώ 1) είναι πρώτος. Το 1876 ο Γάλλος
μαθηματικός Έντουαρντ Λούκας επινόησε μια μέθοδο για να ελέγχει αν ένας
αριθμός του Μερσέν είναι πρώτος και την χρησιμοποίησε για να αποδείξει ότι ο
M(127), είναι ο δωδέκατος τέτοιος πρώτος. Από εκεί και πέρα το τεράστιο
μέγεθος αυτών των αριθμών (ήδη ο M(127) έχει 39 ψηφία, είναι δηλαδή
μεγαλύτερος από το ένα δωδεκάκις εκατομμύριο) έκανε τη διερεύνησή τους με το
χέρι αδύνατη.

Περί τα μέσα του 20ού αιώνα μπήκαν στο κυνήγι και οι ηλεκτρονικοί υπολογιστές.
H μέθοδος του Λούκας, εμπλουτισμένη από έναν άλλο μαθηματικό, τον Λεμέρ,
μετατράπηκε σε πρόγραμμα για υπολογιστή. Όλοι οι επόμενοι αριθμοί (σαράντα
συνολικά μέχρι σήμερα) εντοπίστηκαν με αυτό τον τρόπο. H χρήση των
προγραμμάτων εντοπισμού των πρώτων είναι εξαιρετικά απλή. Αρκεί να σημειώσουμε
ότι το 1978, δύο μαθητές Λυκείου ανακάλυψαν τον 25ο και τον 26ο αριθμό.
Χρειάστηκαν όμως 440 ώρες υπολογιστικού χρόνου. Τα πράγματα άρχισαν πάλι να
δυσκολεύουν: ο υπολογιστικός χρόνος κοστίζει ακριβά και η ανακάλυψη
καινούργιων πρώτων του Μερσέν δεν έχει τόσες πρακτικές εφαρμογές ώστε να
μπορεί να εξασφαλίζεται η χρηματοδότηση της έρευνας.

Έτσι, το 1996, ο Τζορτζ Γουόλτμαν, διευθυντής του GIMPS, είχε μια ιδέα, που
μπόρεσε να πραγματοποιηθεί χάρη στην ύπαρξη του Διαδικτύου και την ευρύτατη
εξάπλωση των ηλεκτρονικών υπολογιστών. Όταν χρησιμοποιούμε τον προσωπικό μας
υπολογιστή, τον περισσότερο χρόνο ο κεντρικός επεξεργαστής (CPU) δεν κάνει
απολύτως τίποτα. Οι περισσότερες εργασίες – εκτύπωση, αποθήκευση,
πληκτρολόγηση – εκτελούνται από τα περιφερειακά συστήματα με πολύ μικρή
συμμετοχή τoυ CPU. Έτσι ο υπολογιστής έχει τη δυνατότητα να εκτελεί
περισσότερες από μια εργασίες ταυτόχρονα. Ενόσω, για παράδειγμα, εμείς
γράφουμε ένα κείμενο στον επεξεργαστή κειμένου, ο υπολογιστής μπορεί
ταυτόχρονα να τυπώνει κάποιο άλλο αρχείο, να κατεβάζει στοιχεία από το
Internet και να τρέχει ένα πρόγραμμα ελέγχου για ιούς. Ένα πρόγραμμα
ιεράρχησης καθορίζει ποια εργασία πρέπει να εκτελείται πρώτη, ποια να αρχίζει
μόλις η πρώτη εργασία αφήσει ελεύθερο τον επεξεργαστή κ.ο.κ.

H ιδέα του Γουόλτμαν ήταν λοιπόν η ακόλουθη. Όποιος επιθυμεί μπορεί να
κατεβάσει από το Internet ένα πρόγραμμα ελέγχου για τους πρώτους αριθμούς. Το
πρόγραμμα έχει χαμηλή ιεραρχία εκτέλεσης, δουλεύει δηλαδή όταν ο υπολογιστής
δεν έχει τίποτα άλλο να κάνει, την ώρα που ο χρήστης πάει στην τουαλέτα ή
κάνει διάλειμμα. Αρκεί να αφήσει τον υπολογιστή του αναμμένο. Ο κεντρικός
υπολογιστής της GIMPS επικοινωνεί με τον υπολογιστή του εθελοντή και του
αναθέτει την έρευνα για το αν ένας συγκεκριμένος αριθμός του Μερσέν είναι
πρώτος.

Μόλις ο υπολογιστής τελειώσει την έρευνα (που μπορεί να κρατήσει ακόμα και
έναν ολόκληρο χρόνο) δίνει την απάντησή του στην κεντρική μονάδα που αναθέτει
τον ίδιο αριθμό και σε δεύτερο υπολογιστή που χρησιμοποιεί διαφορετικό
πρόγραμμα. Αν οι δύο υπολογιστές συμφωνήσουν, η απόφαση για τον αριθμό (στις
πιο πολλές περιπτώσεις η απόφαση λέει ότι δεν είναι πρώτος) θεωρείται
οριστική και καταχωρίζεται στο αρχείο της GIMPS. H δύναμη του συστήματος
έγκειται στον μεγάλο αριθμό εθελοντών που συμμετέχουν.

Αριθμός με δέκα εκατομμύρια ψηφία

Και να που στις 19 Νοεμβρίου 2003, ένας άλλος τυχερός υπολογιστής έπεσε κατά
πάσα πιθανότητα πάνω στον 40ό πρώτο του Μερσέν. Αν η ανακάλυψη επιβεβαιωθεί,
θα πρόκειται για έναν αριθμό με 5 έως 10 εκατομμύρια ψηφία και θα είναι ο
έβδομος που ανακαλύπτεται από το δίκτυο GIMPS.

Αυτή η μάλλον αθώα, μάλλον διασκεδαστική και ενδεχομένως προσοδοφόρα (υπάρχουν
χρηματικά βραβεία για τους τυχερούς που ο υπολογιστής τους πετυχαίνει πρώτο
αριθμό) εφαρμογή του Διαδικτύου φέρει μαζί της κι ένα αισιόδοξο μήνυμα. Το
Internet δεν είναι μόνο ένας μεγάλος αδελφός που μας χαφιεδώνει, ένας μεγάλος
μαστροπός που μας διαφθείρει, ένα μεγάλο καζίνο που μας εκμαυλίζει. Μπορεί να
γίνει ένας χώρος γόνιμης συλλογικής προσπάθειας για να μάθουμε. Να μάθουμε
ακόμα κι αυτά που τα κράτη κι οι εταιρείες δεν ενδιαφέρονται να
χρηματοδοτήσουν.

«Δαπάνησαν» 13.000 χρόνια!

Στην αναζήτηση του 39ου πρώτου του Μερσέν έλαβαν μέρος 130.000 εθελοντές
απ’ όλο τον κόσμο συνεισφέροντας συνολικό υπολογιστικό χρόνο που ξεπερνά τα
13.000 χρόνια! Ο τυχερός, του οποίου ο υπολογιστής στις 14 Νοεμβρίου 2001
βρήκε αυτόν τον αριθμό – που ισούται με το 2 πολλαπλασιασμένο με τον εαυτό του
13.466.917 φορές (μην ξεχάσουμε να αφαιρέσουμε και το 1 στο τέλος) – ήταν ένας
νεαρός Καναδός. Ο αριθμός έχει 4.053.946 ψηφία και θα χρειαζόμασταν περίπου
τρεις εβδομάδες για να τον γράψουμε με το χέρι. (Ανεπιβεβαίωτες πληροφορίες
λένε ότι σ’ εκείνη την ιστορική συνεδρίαση του Εκτελεστικού Γραφείου του ΠΑΣΟΚ
όπου εκπαραθυρώθηκε ο κ. Λαλιώτης ο Πρωθυπουργός τού είπε: «Κοίτα, ή θα μου
γράψεις σ’ ένα χαρτάκι τον 39ο πρώτο του Μερσέν χωρίς λάθη ή παραιτήσου…»).

INFO

Για να λάβετε μέρος στο κυνήγι των πρώτων του Mersenne ή για περισσότερα γύρω
από το GIMPS, επισκεφθείτε το http: //www.mersenne.org/prime.htm.

Ο Τεύκρος Μιχαηλίδης είναι διδάκτωρ των Μαθηματικών. Εργάζεται ως
καθηγητής στη Μέση Εκπαίδευση και ως μεταφραστής.