Στον πυρετό του τζακ ποτ

Άγνωστος – αλλά πολύ μεγάλος – αριθμός συμπολιτών μας έσπευσε να συμπληρώσει 82.489.000 στήλες καταβάλλοντας (προς 30 λεπτά τη στήλη) το «συμβολικό» ποσόν των 24.746.700 ευρώ

Και ξαφνικά, το Σαββατοκύριακο της 10ης Ιανουαρίου, ο προεκλογικός πυρετός
έπεσε. Για λίγες ημέρες, τα κασκόλ του Γιωργάκη και το γυμναστήριο του Κωστάκη
πέρασαν σε δεύτερη μοίρα. Ακόμα και ο κ. Κόλιν Πάουελ, υπουργός Εξωτερικών της
Μεγάλης Αδελφής, όταν εξεδήλωσε την επιθυμία να εκφράσει την προτίμησή του
στον ελληνικό λαό ως προς τον μελλοντικό πρωθυπουργό της Ελλάδος, έλαβε την
απάντηση «Κόλιν, μωρό μου, όχι σήμερα… Έχουμε πονοκέφαλο με το τζακ ποτ στο
Τζόκερ». Οι δημοσιογράφοι εγκατέλειψαν τα μελομακάρονα και το Καστρί και
κατευθύνθηκαν προς τις ουρές που άρχισαν να σχηματίζονται έξω από τα
προπατζήδικα. Το τηλεφωνικό κέντρο του ΟΠΑΠ μπλόκαρε. Αναζητήθηκε επειγόντως
έμπειρος τηλεφωνητής με προϋπηρεσία στο IKA («θα προτιμηθούν όσοι έχουν
χρηματίσει και αρχηγοί κόμματος…», έλεγε η ανακοίνωση) για να ξεμπλοκάρει
την κατάσταση. Δόθηκε εικοσιτετράωρη παράταση για την κατάθεση των δελτίων
(ανάλογο μέτρο πληροφορούμεθα ελήφθη και στη Βουλή για την ψήφιση των
ρουσφετιών, με αντάλλαγμα τη συλλογή φηφο-δελτίων).

Κι όλα αυτά, επειδή άγνωστος – αλλά πολύ μεγάλος – αριθμός συμπολιτών
μας έσπευσε να συμπληρώσει 82.489.000 στήλες καταβάλλοντας (προς 30 λεπτά τη
στήλη) το «συμβολικό» ποσόν των 24.746.700 ευρώ (κάπου οκτώμισι δισεκατομμύρια
δραχμούλες για να μην ξεχνιόμαστε) με την ελπίδα: α) ότι μία από τις στήλες
που συμπλήρωσαν θα είναι πανομοιότυπη με τους αριθμούς που θα εξέλθουν από την
κληρωτίδα, β) ότι το ίδιο δεν θα συμβεί σε πολλούς ακόμα παίκτες. Στόχος: να
κερδίσουν ένα μεγάλο μέρος του ποσού των 9.000.000 ευρώ που ήταν το έπαθλο για
τους πρώτους νικητές. Δεδομένου ότι είμαστε κάπου 10.000.000 – χωρίς να
υπολογίσουμε όσους εμφανίστηκαν στην τηλεόραση για να δηλώσουν ότι είναι
κάτοικοι εξωτερικού και ήλθαν στην Ελλάδα μόνο και μόνο για να παίξουν Τζόκερ
– ο κάθε κάτοικος της ελληνικής επικράτειας συμπλήρωσε κατά μέσον όρο 8
στήλες, πληρώνοντας 2,40 ευρώ. Τελικά, το βράδυ της Δευτέρας 12/1 έξι
συμπολίτες μας κέρδισαν από ενάμισι εκατομμύριο ευρώ (θα τους αρπάξει ένα
μέρος η Εφορία, αλλά όλο και κάτι θα τους μείνει) και οι υπόλοιποι, όσοι για
λίγες ημέρες είχαν ζήσει με το όνειρο, επέστρεψαν, θέλοντας και μη, στη
μιζέρια τους, στις ουρές, στον προϊστάμενο, στο χάος της κυκλοφορίας. Μέχρι
το… επόμενο τζακ ποτ.

Αν λάβουμε υπόψη μας ότι η πιθανότητα να κερδίσει μία στήλη ήταν 1 προς
24.435.180, η απογοήτευση των «χαμένων» δεν θα ‘πρεπε να είναι και πολύ
μεγάλη. Όπως έχουμε και παλιότερα πει, ενώ είναι αδύνατο να προβλέψουμε την
έκβαση ενός τυχερού παιχνιδιού (στα πιο… κουλτουριάρικα το ονομάζουμε
πείραμα τύχης), μπορούμε με βάση απλούς κανόνες να υπολογίσουμε το πλήθος των
δυνατών αποτελεσμάτων και συνεπώς την πιθανότητα επιτυχίας.

Κλειδί για την απαρίθμηση των διαφορετικών αποτελεσμάτων είναι η
πολλαπλασιαστική αρχή: χωρίζουμε τη διαδικασία παραγωγής του αποτελέσματος σε
βήματα, μετράμε τις διαφορετικές δυνατότητες σε κάθε βήμα χωριστά και
πολλαπλασιάζουμε τα αποτελέσματα (βλ. και άρθρο μας της 2/10/2003). Ένα απλό
παράδειγμα θα μας διαφωτίσει αρκετά: σ’ έναν αγώνα δρόμου τρέχουν έξι περίπου
ισοδύναμοι αθλητές. H ισοπαλία αποκλείεται. Υπάρχουν 6 τρόποι να αναδειχθεί ο
πρώτος. Μόλις αναδειχθεί ο πρώτος υπάρχουν 5 τρόποι κάποιος από τους
υπολοίπους να αναδειχθεί δεύτερος. Στη συνέχεια υπάρχουν 4 τρόποι να
αναδειχθεί ο τρίτος, 3 ο τέταρτος, 2 ο πέμπτος και 1 ο έκτος. Άρα υπάρχουν
6x5x4x3x2x1=720 διαφορετικές κατατάξεις των αθλητών. Αν κάποιος επιχειρήσει να
προβλέψει αυτή την πλήρη κατάταξη έχει λοιπόν πιθανότητα 1/720 να την
προβλέψει σωστά. (Για τους μερακλήδες, το γινόμενο 1x2x3x4x5x6 συμβολίζεται ως
6! Και διαβάζεται 6 παραγοντικό).

Ας υποθέσουμε τώρα ότι ρίχνουμε δυο ζάρια διαφορετικού χρώματος. Το πρώτο ζάρι
(π.χ. το πράσινο) μπορεί να φέρει 6 διαφορετικά αποτελέσματα, το ίδιο και το
δεύτερο (το κόκκινο). Άρα υπάρχουν συνολικά 6×6=36 διαφορετικά αποτελέσματα.
Έτσι η πιθανότητα να φέρουμε άθροισμα 2 (2, 1) ή (1, 2) είναι 2/36.

Μπορούμε τώρα να μετρήσουμε πόσες στήλες ΠΡΟ-ΠΟ πρέπει να συμπληρώσουμε για να
είμαστε βέβαιοι ότι θα κερδίσουμε. Υπάρχουν δεκατρείς αγώνες στον καθένα από
τους οποίους και ανεξάρτητα από τους άλλους πρέπει να συμπληρώσουμε 1, 2 ή X.
Άρα έχουμε 13 θέσεις στη σειρά, με 3 ενδεχόμενα για την κάθε θέση. Αυτό μας
κάνει 3x3x… x3=3¹³=1.594.323 στήλες. Αν μάλιστα θέλουμε να
κερδίσουμε και το «Σούπερ 13» υπάρχει και μια 14η θέση, οπότε οι στήλες
γίνονται συνολικά 3¹⁴=4.782.969.

Τα μυστικά του Τζόκερ

Ας έρθουμε τώρα στο Τζόκερ. Το παιχνίδι είναι λίγο πιο περίπλοκο. Ο παίκτης
έχει να επιλέξει πέντε αριθμούς από τους 45 διαθέσιμους και στη συνέχεια άλλον
ένα αριθμό – τον τζόκερ – από 20 διαθέσιμους. Οι συνδυασμοί των 45 αριθμών ανά
5 είναι 1.221.754 που πρέπει να πολλαπλασιαστούν με τους 20 τρόπους που έχουμε
να επιλέξουμε έναν αριθμό από τους 20, δίνοντας ένα συνολικό πλήθος δυνατών
αποτελεσμάτων ίσο με 24.435.180, όπως είπαμε και στην αρχή.

Ένα από αυτά τα αποτελέσματα, το 3-28-31-35-45 με τζόκερ το 8 βγήκε από την
κληρωτίδα. Όπως προαναφέραμε, το είχαν παίξει έξι παίκτες. H πιθανότητα να μην
το είχε παίξει κανένας παίκτης, δηλαδή να μην υπήρχε στις 82.489.000 στήλες
που κατατέθηκαν ήταν περίπου 3%. Σ’ αυτή την περίπτωση θα είχαμε ξανά τζακ ποτ
(θα ήταν το πέμπτο κατά σειρά). Κερδισμένοι θα έβγαιναν ο ΟΠΑΠ που διοργανώνει
το παιχνίδι και θα έκανε ακόμα μεγαλύτερες εισπράξεις καθώς και ο υπογράφων ο
οποίος θα έβλεπε το ενδιαφέρον για το κείμενό του να αυξάνεται. Αντίθετα, ο
Γιωργάκης και ο Κωστάκης θα τα έβαφαν μαύρα. Γιατί αν άρχιζαν πάλι οι ουρές
στα προπατζήδικα, όχι μόνο το κασκόλ αλλά ούτε και τα εσώρουχά τους δεν θα
αποτελούσαν είδηση.

Οι συνδυασμοί του ΛΟΤΤΟ

Για το ΛΟΤΤΟ τα πράγματα είναι κάπως διαφορετικά από το ΠΡΟ ΠΟ. H κληρωτίδα
βγάζει στη σειρά 6 αριθμούς από τους 49 διαθέσιμους 1-49. Έτσι υπάρχουν 49
δυνατότητες για τον πρώτο αριθμό, 48 για τον δεύτερο, 47 για τον τρίτο κ.ο.κ.
μέχρι τις 44 για τον έκτο αριθμό. Έτσι τα δυνατά αποτελέσματα είναι
4948…44=10.068.347.520. Προσοχή όμως! Το πλήθος αυτών των αποτελεσμάτων
είναι υπερβολικό γιατί έχει υπολογιστεί η σειρά των αριθμών, που στο
συγκεκριμένο παιχνίδι δεν έχει σημασία. Ας πούμε το αποτέλεσμα 7 – 12 – 13 –
19 – 32 – 44 έχει μετρηθεί σαν διαφορετικό από το 12 – 19 – 44 – 7 – 13 – 32.
Ωστόσο στους κανονισμούς του ΛΟΤΤΟ αυτά τα δύο αποτελέσματα θεωρούνται ίδια.
Για να βρούμε λοιπόν τον σωστό αριθμό, θα πρέπει να διαιρέσουμε αυτόν που
βρήκαμε με το πλήθος των διαφορετικών τρόπων με τους οποίους μπορούμε να
βάλουμε έξι αριθμούς στη σειρά. Αυτός, πάλι εφαρμόζοντας την πολλαπλασιαστική
αρχή, μπορούμε να βρούμε ότι ισούται με 654321= 720. Έτσι το πλήθος των στηλών
ΛΟΤΤΟ που πρέπει να συμπληρώσουμε για να είμαστε σίγουροι ότι θα κερδίσουμε
ισούται μόλις με 13.983.816.

Όταν από έναν συγκεκριμένο αριθμό (ας πούμε ν) αντικειμένων έχουμε να
επιλέξουμε μερικά (ας πούμε κ) από αυτά χωρίς να μας ενδιαφέρει η σειρά, λέμε
ότι μετράμε τους «συνδυασμούς των ν αντικειμένων ανά κ». Έτσι στο παράδειγμα
του ΛΟΤΤΟ μετρήσαμε τους συνδυασμούς των 49 αντικειμένων ανά 6 (και βρήκαμε
13.983.816).

O Τεύκρος Μιχαηλίδης είναι διδάκτωρ των Μαθηματικών. Εργάζεται ως
καθηγητής στη Μέση Εκπάιδευση και ως μεταφραστής