Aριθμοί και ψέματα

Γιορτή των ψευτών η σημερινή και στη μνήμη έρχεται η περικοπή από την Προς

Τίτον επιστολή του Αποστόλου Παύλου «Είπε τις εξ αυτών: Κρήτες αεί ψεύσται. H

μαρτυρία αύτη εστίν αληθής». Με άλλα λόγια, «είπε ένας Κρητικός ότι όλοι οι

Κρητικοί είναι ψεύτες. Αυτή η μαρτυρία είναι αληθινή». Αναρωτιέμαι αν ο

Απόστολος των Εθνών, αναπαράγοντας τη γνωστή από την αρχαιότητα ιστορία του

Επιμενίδη του Κρητικού, αναλογίστηκε τις συνέπειες της φράσης του. Αν η

μαρτυρία του Επιμενίδη είναι αληθινή, όντως όλοι οι Κρητικοί είναι ψεύτες,

μεταξύ αυτών και ο ίδιος ο Επιμενίδης. Συνεπώς η φράση του «όλοι οι Κρητικοί

είναι ψεύτες» είναι και αυτή ψέματα. Άρα δεν είναι όλοι οι Κρητικοί ψεύτες.

Δεν αποκλείεται λοιπόν ο Επιμενίδης να μην είναι ψεύτης και να λέει αλήθεια.

Αν όμως λέει αλήθεια…

Τα λογικά παράδοξα σχετικά με τον χαρακτηρισμό μιας πρότασης ως «αληθούς» ή

«ψευδούς» έρχονται σε ευθεία αντίθεση με την αριστοτέλεια λογική και

ειδικότερα με την αρχή τής «τρίτου ή μέσου αποκλίσεως» που πρεσβεύει ότι μια

κατάφαση μπορεί να χαρακτηρισθεί με μοναδικό τρόπο ως αληθής ή ψευδής χωρίς να

υπάρχει τρίτο ενδεχόμενο. Για πάρα πολλούς αιώνες, η αριστοτέλεια λογική

αποτελούσε το μοναδικό αποδεκτό σύστημα ανάλυσης και παραγωγής συμπερασμάτων.

Ωστόσο η εξέλιξη της επιστημονικής έρευνας έφερε στο προσκήνιο αρκετές

περιπτώσεις στις οποίες η «λογική των δύο τιμών» αποδεικνύεται ανεπαρκής.

Επιστήμες όπως η Βιολογία, η Χημεία, η Κβαντομηχανική αλλά και τα ίδια τα

«καθαρά» Μαθηματικά ανέδειξαν προτάσεις όπου η ανάγκη μιας λογικής με

περισσότερες από δύο τιμές αλήθειας προβάλλει επιτακτική.

Περί τα τέλη του 19ου αιώνα, ο Γερμανός μαθηματικός Georg Cantor (1845

– 1918) θεμελίωσε τη θεωρία των Συνόλων, προσπαθώντας να αναπτύξει ένα κοινό

υπόβαθρο, μια κοινή γλώσσα για τους διάφορους ανεξάρτητα αναπτυσσόμενους

κλάδους των Μαθηματικών. Στην προσπάθειά του αυτή αναγκάστηκε να διατυπώσει

ορισμούς που έκαναν καθολικές αναφορές του τύπου «το σύνολο όλων των αριθμών»,

«το σύνολο όλων των τριγώνων» κ.λπ.

Οι δυσκολίες άρχισαν όταν αναφέρθηκε στο «σύνολο όλων των συνόλων», ένα

αντικείμενο που αν είναι υπαρκτό αναγκαστικά θα περιέχει τον εαυτό του. Και αν

αποδεχθούμε ότι υπάρχουν σύνολα που περιέχουν τον εαυτό τους και άλλα που δεν

τον περιέχουν, γιατί να μη σκεφθούμε «το σύνολο όλων των συνόλων που ΔΕΝ

περιέχουν τον εαυτό τους»; Αναλογιστείτε τώρα το παράδοξο. Αυτό το τελευταίο

τερατάκι περιέχει ναι ή όχι τον εαυτό του; Γρήγορα διαπιστώνουμε πως αν τον

περιέχει τότε… δεν τον περιέχει και αν δεν τον περιέχει τότε… τον

περιέχει.

Ο Βρετανός φιλόσοφος, μαθηματικός και ειρηνιστής Bertrand Russell (1872

– 1970) είναι αυτός που πρώτος ανακάλυψε το παράδοξο. Μάλιστα, όταν το 1902 ο

Γερμανός μαθηματικός Gottlob Frege (1848 – 1925) ετοιμαζόταν να εκδώσει τον

δεύτερο τόμο των «Θεμελίων της Αριθμητικής», όπου έκανε ευρύτατη χρήση των

«καθολικών ορισμών», έλαβε μια επιστολή από τον Russell που του ανέλυε το

παράδοξο μέσω του οποίου ολόκληρη η λογική δομή του έργου του κατέρρεε.

Ο δυστυχής Frege δεν είχε άλλη επιλογή παρά να παραθέσει το παράδοξο στον

πρόλογο του βιβλίου του και να ομολογήσει ότι «… δεν υπάρχει τίποτα πιο

δυσάρεστο για έναν επιστήμονα παρά να διαπιστώσει τη στιγμή που έχει

ολοκληρώσει μια εργασία ότι τα θεμέλιά της καταρρέουν…».

Μια γάτα σε κουτί

Το 1935, ο Erwin Schrodinger (1887 – 1961) παρατήρησε ότι και στην

κβαντομηχανική η «αρχή της υπέρθεσης» έρχεται σε αντίθεση με τη λογική των δύο

τιμών. Προσπαθώντας να εκλαϊκεύσει περιέγραψε μια γάτα που κλείνουμε σ’ ένα

αδιαφανές κουτί μαζί με μια κάψουλα υδροκυανίου που έχει μια πιθανότητα στις

δύο να σπάσει, σκοτώνοντάς την ακαριαία. Όση ώρα το κουτί είναι κλειστό η

φράση «η γάτα είναι ζωντανή» δεν είναι ούτε αληθής ούτε ψευδής. Και στην

προσπάθειά μας να ανοίξουμε το κουτί μπορεί να προκαλέσουμε εμείς τη θραύση

της κάψουλας, επηρεάζοντας «διά της παρατηρήσεώς μας και μόνον» την τιμή

αλήθειας της πρότασης.

Ας παρατηρήσουμε τέλος ότι πολλά από τα τεχνολογικά επιτεύγματα που

απολαμβάνουμε, όπως τα σύγχρονα ψυγεία και το σύστημα πέδησης ABS, στηρίζονται

στη λεγόμενη ασαφή λογική (fuzzy logic), μια λογική με άπειρες ενδιάμεσες

τιμές ανάμεσα στο «αλήθεια» και το «ψέματα». Έτσι, την επόμενη φορά που θα

οδηγήσετε σκεφθείτε ότι το αν το αυτοκίνητό σας θα φρενάρει εγκαίρως ή όχι

είναι αποτέλεσμα μιας λογικής που με τα καθημερινά δεδομένα είναι ακατανόητη.

Γι’ αυτό οδηγείτε αργά!

INFO

Για περισσότερα σχετικά με τα παράδοξα της Μαθηματικής Λογικής: Raymon

Smullyan «Ο σατανάς, ο Κάντορ και το άπειρο», μετάφραση Στάμου Τσιτσώνη,

Εκδόσεις Κάτοπτρο.

Ο Τεύκρος Μιχαηλίδης είναι διδάκτωρ των Μαθηματικών. Εργάζεται ως

καθηγητής στη Μέση Εκπαίδευση και ως μεταφραστής.